# 极限的四则运算与比较法则

## 定义

极限的四则运算法则解决的是这样一类问题：已知 $f$ 与 $g$ 各自的极限，求 $f\pm g$、$fg$、$f/g$ 等组合的极限。

设 $\lim_{x \to x_0}f(x)=A$，$\lim_{x \to x_0}g(x)=B$。当 $A$、$B$ 都是有限数时，组合的极限由 $A$、$B$ 唯一确定，这就是四则运算法则成立的前提。若组合的极限不能由各部分的极限直接确定，这类情形称为**不定型**，包括

$$
\frac{0}{0},\quad \frac{\infty}{\infty},\quad 1^\infty,\quad 0^0,\quad \infty^0,\quad \infty-\infty,\quad 0\cdot\infty.
$$

出现不定型时四则运算法则失效，必须先做变形，再重新求极限。

## 四则运算与比较法则

### 四则运算法则

若 $\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$，且 $A$、$B$ 都是有限数，则

1. 和差法则：$\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm\lim g(x)=A\pm B$。
2. 常数乘法法则：$\lim[Cf(x)]=C\lim f(x)=CA$，其中 $C$ 为常数。
3. 积法则：$\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot\lim g(x)=AB$。
4. 商法则：$\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\dfrac{A}{B}$，前提是 $B\ne 0$。
5. 幂法则：$\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n=A^n$，其中 $n$ 为常数。

> [!WARNING]
> **法则的前提**
>
> 上述法则要求所有涉及的极限都存在且为有限值。商法则还要求分母的极限不为 $0$：出现 $A/0$（$A\ne 0$）时商法则不成立，出现 $\dfrac{\infty}{\infty}$、$\dfrac{0}{0}$ 等不定型时也不能直接套用，两者都必须先变形。

### 夹逼定理

设 $f(x)$、$g(x)$、$h(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内（或 $x\to\infty$ 时）满足

$$
f(x)\le g(x)\le h(x),
$$

且 $\lim f(x)=\lim h(x)=L$，则 $\lim g(x)=L$。

**证明**

设 $\lim f(x)=\lim h(x)=L$。任给 $\varepsilon>0$，存在 $x_0$ 的去心邻域，使其中同时有

$$
L-\varepsilon<f(x),\qquad h(x)<L+\varepsilon.
$$

在该邻域内，

$$
L-\varepsilon<f(x)\le g(x)\le h(x)<L+\varepsilon,
$$

即 $|g(x)-L|<\varepsilon$。因此 $\lim g(x)=L$。

> [!TIP]
> **适用场景**
>
> 夹逼定理适合处理含 $\sin\dfrac{1}{x}$、$\cos\dfrac{1}{x}$ 等有界振荡因子的极限：先把这个因子放缩到两个趋于同一值的界之间，或先证明它有界、另一个因子趋于 $0$，再夹逼。它也可以用来证明较复杂的数列极限。

### 保号性

若 $\lim_{x \to x_0}f(x)=A$ 且 $A>0$（或 $A<0$），则在 $x_0$ 的某一去心邻域内有 $f(x)>0$（或 $f(x)<0$）。

### 极限值与不等式

若在 $x_0$ 的某一去心邻域内 $f(x)\le g(x)$，且 $\lim f(x)$、$\lim g(x)$ 都存在，则

$$
\lim f(x)\le \lim g(x).
$$

> [!WARNING]
> 严格不等式在取极限后可能变成等号。$f(x)=0$ 与 $g(x)=x^2$ 在 $x\to 0$ 时满足 $f(x)<g(x)$，但两者的极限都等于 $0$。

### 常用求极限方法

求极限时先直接代入（连续点），不能代入就考察类型，再选择变形方法。

### 代入法

若 $f$ 在 $x_0$ 处连续，则 $\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$。初等函数在其定义区间内都连续，所以这类极限可以直接代入。连续性的定义与判断见 [函数在一点的连续性](/knowledge/maths/limits/continuity/)。

### 消去不定型

针对不同的不定型，常用以下变形手段。

#### 代数变形

* **因式分解与约分**：针对 $\dfrac{0}{0}$ 型的有理式。例如
  $$
  \lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}
  =\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}
  =\lim_{x \to 1}(x+1)=2.
  $$
* **根式有理化**：针对含根式的 $\dfrac{0}{0}$ 型或 $\infty-\infty$ 型，乘以共轭表达式消去根式。
* **提取最高次幂**：针对 $x\to\infty$ 时的 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型，分子分母同除以 $x$ 的最高次幂。

#### 洛必达法则

若 $\lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}g(x)=0$（或都趋于 $\infty$），$f$、$g$ 在 $x_0$ 的去心邻域内可导且 $g'(x)\ne 0$，并且 $\lim_{x \to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为 $\infty$），则

$$
\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
$$

> [!WARNING]
> 洛必达法则只适用于 $\dfrac{0}{0}$ 型与 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型。$1^\infty$、$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$ 等其他不定型必须先转化成这两种形式。

#### 等价无穷小代换

当 $x\to 0$ 时，若 $\alpha(x)\sim\beta(x)$，则乘积或商中的因子 $\alpha(x)$ 可以用 $\beta(x)$ 替换；和差中的项不能直接逐项替换。基本等价关系与替换条件见 [等价无穷小](/knowledge/maths/limits/equivalent-infinitesimals/)。

#### 泰勒展开

对于含多种初等函数的 $\dfrac{0}{0}$ 型，若洛必达法则求导次数多、计算量大，可把分子分母分别展开到最低非零次幂再比较。

#### 转化为指数形式

对于幂指函数产生的 $1^\infty$、$\infty^0$、$0^0$ 型，先利用对数恒等式把 $f(x)^{g(x)}$ 写成 $e^{g(x)\ln f(x)}$，求出指数部分的极限 $L$，原极限为 $e^L$。

#### 两个重要极限

第一个重要极限处理 $\dfrac{0}{0}$ 型的三角函数，第二个重要极限处理 $1^\infty$ 型。两者的结构、变形方法和几何意义见 [两个重要极限](/knowledge/maths/limits/important-limits/)。

## 例子

**有理化处理根式**

$$
\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}
=\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}
=\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}
=\frac{1}{2}.
$$

**提取最高次幂**

$$
\lim_{x \to \infty}\frac{3x^2+x}{2x^2-1}
=\lim_{x \to \infty}\frac{3+\dfrac{1}{x}}{2-\dfrac{1}{x^2}}
=\frac{3}{2}.
$$

**用夹逼定理处理有界振荡因子**

当 $x\ne 0$ 时，$0\le\left|x\sin\dfrac{1}{x}\right|\le|x|$。由 $\lim_{x \to 0}|x|=0$ 及夹逼定理，

$$
\lim_{x \to 0}x\sin\frac{1}{x}=0.
$$

## 探索

交互演示：约分后为什么可以求极限？。比较原式与约分式在目标点附近的值。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=$ \_\_\_\_\_\_（factor-value）。

   答案：2

   分子分母都趋于 $0$，约去零因子 $x-1$ 后得 $\lim_{x \to 1}(x+1)=2$。

2. $\lim_{x \to \infty}\dfrac{3x^2+x}{2x^2-1}=$

   * A.  $0$
   * B.  $\dfrac{3}{2}$
   * C.  $3$
   * D.  $+\infty$

   答案：B

   分子分母同除以 $x^2$，得 $\lim_{x \to \infty}\dfrac{3+1/x}{2-1/x^2}=\dfrac{3}{2}$。

3. $\lim_{x \to 0}x\sin\dfrac{1}{x}=$ \_\_\_\_\_\_（squeeze-value）。

   答案：0

   由 $0\le\left|x\sin\dfrac{1}{x}\right|\le|x|$ 和夹逼定理得到。

4. 关于极限与不等式，下列说法正确的是

   * A.  若 $f(x)<g(x)$ 恒成立，则 $\lim f(x)<\lim g(x)$
   * B.  若 $f(x)\le g(x)$ 恒成立且两个极限都存在，则 $\lim f(x)\le \lim g(x)$
   * C.  若 $\lim f(x)\le \lim g(x)$，则必有 $f(x)\le g(x)$ 恒成立
   * D.  四则运算法则只要求极限存在，不要求极限为有限值

   答案：B

   取极限会把严格不等式放宽为非严格不等式，$f(x)=0$ 与 $g(x)=x^2$ 在 $x\to 0$ 时就是反例；四则运算法则要求极限存在且为有限值。

5. 下列各式中，不是不定型的是

   * A.  $\dfrac{0}{0}$
   * B.  $\dfrac{\infty}{\infty}$
   * C.  $1^\infty$
   * D.  $\dfrac{1}{0}$

   答案：D

   $\dfrac{1}{0}$ 的分子不趋于 $0$，函数值的绝对值趋于无穷，不属于不定型；但商法则要求分母极限不为 $0$，所以也不能直接套用。