# 幂指函数

## 定义

形如

$$
y=[u(x)]^{v(x)}
$$

的函数称为**幂指函数**，其中底数 $u(x)$ 与指数 $v(x)$ 都是自变量 $x$ 的函数。

本页要求 $u(x)>0$。这既保证 $[u(x)]^{v(x)}$ 在实数范围内有定义，也保证可以对 $u(x)$ 取对数；讨论 $x^x$ 时，范围就是 $x>0$。

幂指函数不是幂函数，也不是指数函数，而是两者的推广：幂函数的底数是变量、指数是常数，指数函数的底数是常数、指数是变量，幂指函数则两者都随 $x$ 变化。它仍然是复合函数，但不能直接套用

$$
[x^a]'=ax^{a-1},\qquad [a^x]'=a^x\ln a,
$$

因为这两个公式各自假定底数或指数中有一个是常量。

为书写方便，下文把 $u(x)$、$v(x)$ 简记为 $u$、$v$，并默认它们在所讨论的点可导，或在求极限时极限存在。

## 性质

### 求导

求导的核心是**对数求导法**：先用 $a=e^{\ln a}$ 把幂指函数写成以 $e$ 为底的复合函数，再按[链式法则](/knowledge/maths/derivatives/chain-rule/)求导。

设 $u>0$ 且 $u$、$v$ 都可导，则

$$
\left([u(x)]^{v(x)}\right)'
=[u(x)]^{v(x)}\left[v'(x)\ln u(x)+\frac{v(x)u'(x)}{u(x)}\right].
$$

1. **改写成指数形式**

   利用恒等式 $[u(x)]^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$，把底数化为常数 $e$。也可以两边取对数，写成 $\ln y=v(x)\ln u(x)$，两种写法等价。

2. **对 $x$ 求导**

   对外层 $e^{\,\cdot}$ 用链式法则，或对 $\ln y$ 用链式法则，再对乘积 $v\ln u$ 用乘积法则。指数部分的导数是 $v'\ln u+v\dfrac{u'}{u}$。

3. **乘回原函数**

   取对数的写法最后要乘以 $y=[u(x)]^{v(x)}$，才得到上面的公式。直接用指数形式则不必乘，因为 $e^{v\ln u}$ 本身就是原函数。

**证明**

把 $y=e^{v(x)\ln u(x)}$ 看作 $y=e^{g(x)}$ 与 $g(x)=v(x)\ln u(x)$ 的复合。由链式法则，

$$
y'=e^{g(x)}g'(x)
=e^{v\ln u}\left(v'\ln u+v\frac{u'}{u}\right).
$$

再把 $e^{v\ln u}$ 写回 $[u(x)]^{v(x)}$，即得求导公式。取对数的写法记录的是同一步骤：

$$
\frac{y'}{y}
=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(v(x)\ln u(x)\bigr)
=v'(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u'(x)}{u(x)}.
$$

> [!TIP]
> 解题时用第一步的转化或两边取对数，比直接背最终公式更稳：每次只需对 $v\ln u$ 用一次乘积法则和链式法则。最终公式可以用来核对结果。

用公式时注意两项的来源：$v'\ln u$ 来自指数 $v$ 的变化，$v\dfrac{u'}{u}$ 来自底数 $u$ 的变化，两项都不能漏。

### 极限

### 确定型

若 $\lim\limits_{x\to x_0}u(x)=a>0$、$\lim\limits_{x\to x_0}v(x)=b$ 都存在，且 $a^b$ 不是不定型，则

$$
\lim_{x\to x_0}[u(x)]^{v(x)}
=\left(\lim_{x\to x_0}u(x)\right)^{\lim\limits_{x\to x_0}v(x)}
=a^b .
$$

这是因为 $u^v=e^{v\ln u}$ 在 $u>0$ 时关于 $(u,v)$ 连续。这类题不需要变形，直接代入即可。

### 不定型

幂指函数的不定式有三类。它们的共同点是 $v\ln u$ 成为 $0\cdot\infty$ 型：

| 类型         | 特征                   | 指数部分 $v\ln u$ 的形式            |
| ---------- | -------------------- | ---------------------------- |
| $1^\infty$ | $u\to1$，$v\to\infty$ | $v\ln u$ 为 $\infty\cdot0$    |
| $\infty^0$ | $u\to\infty$，$v\to0$ | $v\ln u$ 为 $0\cdot\infty$    |
| $0^0$      | $u\to0^+$，$v\to0$    | $v\ln u$ 为 $0\cdot(-\infty)$ |

$0^0$ 型必须要求 $u\to0^+$，否则 $\ln u$ 没有实值，函数在实数范围内无定义。

### 通用方法：先取对数，再取指数

先把幂指函数写成指数形式，利用 $e^x$ 的连续性把极限移到指数上：

$$
\lim_{x\to x_0}[u(x)]^{v(x)}
=\lim_{x\to x_0}e^{v(x)\ln u(x)}
=e^{L},\qquad
L=\lim_{x\to x_0}v(x)\ln u(x).
$$

于是问题化为求 $L$。把 $v\ln u$ 写成 $\dfrac{\ln u}{1/v}$ 或 $\dfrac{v}{1/\ln u}$，就得到 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型，可以再用洛必达法则或[等价无穷小](/knowledge/maths/limits/equivalent-infinitesimals/)。求出 $L$（包括 $L=\pm\infty$）后，原极限为 $e^L$。

### $1^\infty$ 型的快捷公式

若 $u(x)\to1$、$v(x)\to\infty$，且 $(u(x)-1)v(x)$ 的极限 $L$ 存在（或为 $\pm\infty$），则

$$
\lim_{x\to x_0}[u(x)]^{v(x)}
=\lim_{x\to x_0}\bigl[1+(u(x)-1)\bigr]^{v(x)}
=e^{L},\qquad
L=\lim_{x\to x_0}(u(x)-1)v(x).
$$

这是因为 $u\to1$ 时 $\ln u=\ln\bigl(1+(u-1)\bigr)\sim u-1$，所以 $v\ln u$ 与 $(u-1)v$ 等价。指数部分因此从 $\ln u$ 简化成一次式，比原式好算。这个公式与[第二个重要极限](/knowledge/maths/limits/important-limits/)同源。

> [!IMPORTANT]
> 不管是哪一类不定型，先把幂指函数写成 $e^{v(x)\ln u(x)}$ 再处理，都是通用做法。$1^\infty$ 的快捷公式只是把 $\ln u$ 换成了等价的一阶量 $u-1$，不能套用到 $\infty^0$ 或 $0^0$ 型。

## 例子

**求 $y=x^x$ 的导数（$x>0$）**

两边取对数：

$$
\ln y=x\ln x.
$$

对 $x$ 求导，左边用链式法则：

$$
\frac{y'}{y}=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1,
$$

所以

$$
y'=x^x(\ln x+1).
$$

**$0^0$ 型：$\lim\limits_{x\to0^+}x^x$**

先取对数：

$$
\ln(x^x)=x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}.
$$

$x\to0^+$ 时分子趋于 $-\infty$、分母趋于 $+\infty$，用洛必达法则：

$$
\lim_{x\to0^+}x\ln x
=\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}
=\lim_{x\to0^+}(-x)=0.
$$

因此

$$
\lim_{x\to0^+}x^x=e^0=1.
$$

**$1^\infty$ 型：$\lim\limits_{x\to0}(1+x^2)^{1/x^2}$**

底数 $1+x^2\to1$，指数 $\dfrac{1}{x^2}\to\infty$，属于 $1^\infty$ 型。用快捷公式，取 $u=1+x^2$、$v=\dfrac{1}{x^2}$：

$$
(u-1)v=x^2\cdot\frac{1}{x^2}=1,
$$

所以极限为 $e^1=e$。

**$\infty^0$ 型：$\lim\limits_{x\to\infty}x^{1/x}$**

取对数：

$$
\ln\left(x^{1/x}\right)=\frac{\ln x}{x}\to0\quad(x\to\infty),
$$

所以

$$
\lim_{x\to\infty}x^{1/x}=e^0=1.
$$

## 探索

交互演示：x的x次方在零附近趋向什么？。通过对数变换观察幂指函数。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 函数 $y=x^x$（$x>0$）在 $x=1$ 处的导数是 \_\_\_\_\_\_（derivative-value）。

   答案：1

   由 $y'=x^x(\ln x+1)$，代入 $x=1$ 得 $1\cdot(0+1)=1$。

2. 下列极限类型中，属于幂指函数不定型的是哪些？

   * A.  $1^\infty$ 型
   * B.  $0^0$ 型
   * C.  $\infty^0$ 型
   * D.  $2^3$ 型

   答案：A、B、C

   $2^3$ 中底数与指数都趋于确定的常数，可以直接代入得 $8$，不是不定型。

3. $\lim\limits_{x\to0^+}x^x$ 等于

   * A.  $0$
   * B.  $1$
   * C.  $e$
   * D.  不存在

   答案：B

   取对数后 $x\ln x\to0$，所以原极限为 $e^0=1$。