# 格林公式

## 定义

设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 所围成，函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则

$$
\iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
=\oint_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y,
$$

其中 $L$ 是 $D$ 的**正向边界曲线**。

对复连通区域，格林公式仍然成立，但此时 $L$ 应理解为区域 $D$ 的**全部边界**，且外边界取正向（逆时针），内边界取负向（顺时针）。

使用格林公式前要检查两件事：$P$、$Q$ 在 $D$ 上（包括 $D$ 的内部）具有一阶连续偏导数；$L$ 取正向。若 $D$ 内有使 $P$ 或 $Q$ 无定义的奇点，不能直接套公式，要在挖去奇点后的区域上使用，并把新增的边界计入 $L$。

## 证明

下面给出 $D$ 同时为 $x$ 型与 $y$ 型区域时的证明；一般的分段光滑边界区域可以分割成有限个这样的区域，公共边界上的积分因方向相反而抵消。

设

$$
D=\{(x,y):a\le x\le b,\ y_1(x)\le y\le y_2(x)\}
$$

也是 $y$ 型区域

$$
D=\{(x,y):c\le y\le d,\ x_1(y)\le x\le x_2(y)\}.
$$

先计算含 $Q$ 的项。固定 $y$，对 $x$ 积分：

$$
\iint\limits_D\frac{\partial Q}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
=\int_c^d\Bigl[Q\bigl(x_2(y),y\bigr)-Q\bigl(x_1(y),y\bigr)\Bigr]\,\mathrm{d}y.
$$

沿正向边界，右边界 $x=x_2(y)$ 从下往上走，左边界 $x=x_1(y)$ 从上往下走，所以

$$
\oint_L Q\,\mathrm{d}y
=\int_c^d Q\bigl(x_2(y),y\bigr)\,\mathrm{d}y
+\int_d^c Q\bigl(x_1(y),y\bigr)\,\mathrm{d}y
=\int_c^d\Bigl[Q\bigl(x_2(y),y\bigr)-Q\bigl(x_1(y),y\bigr)\Bigr]\,\mathrm{d}y.
$$

两者相等。再计算含 $P$ 的项。固定 $x$，对 $y$ 积分：

$$
\iint\limits_D-\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
=\int_a^b\Bigl[P\bigl(x,y_1(x)\bigr)-P\bigl(x,y_2(x)\bigr)\Bigr]\,\mathrm{d}x.
$$

沿正向边界，下边界从 $a$ 到 $b$，上边界从 $b$ 到 $a$，所以

$$
\oint_L P\,\mathrm{d}x
=\int_a^b P\bigl(x,y_1(x)\bigr)\,\mathrm{d}x
+\int_b^a P\bigl(x,y_2(x)\bigr)\,\mathrm{d}x
=\int_a^b\Bigl[P\bigl(x,y_1(x)\bigr)-P\bigl(x,y_2(x)\bigr)\Bigr]\,\mathrm{d}x.
$$

两式相加即得

$$
\iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
=\oint_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y.
$$

## 性质

### 计算平面图形面积

在格林公式中取 $P=-y$，$Q=x$，则

$$
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.
$$

于是

$$
2\iint\limits_D\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
=\oint_L x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x,
$$

即区域 $D$ 的面积为

$$
A=\iint\limits_D\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
=\frac12\oint_L x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x,
$$

其中 $L$ 为 $D$ 的正向边界。

取 $P=0$、$Q=x$ 得 $A=\oint_L x\,\mathrm{d}y$；取 $P=-y$、$Q=0$ 得 $A=-\oint_L y\,\mathrm{d}x$。这两个公式与上面的对称形式等价，选择哪一个取决于边界方程用哪个变量作参数更方便。

边界写成 $x=x(y)$ 时，$\oint_L x\,\mathrm{d}y$ 往往只需计算一个积分；边界写成 $y=y(x)$ 时，$-\oint_L y\,\mathrm{d}x$ 可能更省事。方向必须保持正向，否则结果差一个负号。

## 例子

**用格林公式计算单位正方形的边界积分**

设 $D=[0,1]\times[0,1]$，$L$ 为其正向边界。取 $P=-y$、$Q=x$，则

$$
\oint_L x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x
=\iint\limits_D 2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
=2\cdot 1=2.
$$

这也正好是 $D$ 的面积的两倍。

**椭圆的面积**

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的正向边界可参数化为

$$
x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
$$

于是

$$
x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x
=a\cos t\cdot b\cos t\,\mathrm{d}t
-b\sin t\cdot(-a\sin t)\,\mathrm{d}t
=ab\,\mathrm{d}t.
$$

代入面积公式：

$$
A=\frac12\int_0^{2\pi}ab\,\mathrm{d}t=\pi ab.
$$

## 探索

交互演示：边界积分与区域积分怎样对应？。用圆盘例子比较格林公式两侧。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 使用格林公式时，下列哪组条件足够？

   * A.  $P$、$Q$ 在 $D$ 内连续
   * B.  $P$、$Q$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，且 $L$ 取正向
   * C.  $L$ 取负向，公式右边也取正
   * D.  $D$ 必须是单连通区域

   答案：B

   格林公式要求 $P$、$Q$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导数，边界取正向；复连通区域也可以使用，只是要取全部边界。

2. 设 $D=[0,1]\times[0,1]$，$L$ 为其正向边界，则
   $\displaystyle\oint_L x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：2

   由格林公式，被积表达式对应 $\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2$，而 $D$ 的面积为 $1$，所以积分为 $2\cdot 1=2$。