# 对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分把被积函数沿一条曲线累加，累加的依据是弧长。本页讨论平面曲线 $L$ 与空间曲线 $\Gamma$ 上的第一类曲线积分，记弧长元素为 $\mathrm{d}s$。这里的曲线都指光滑曲线：存在参数方程，各分量有一阶连续导数，且导函数不同时为零。

## 定义

设 $L$ 为 $xOy$ 平面内的一条光滑曲线弧，函数 $f(x,y)$ 在 $L$ 上有界。将 $L$ 任意分成 $n$ 个小弧段

$$
\Delta s_1,\Delta s_2,\dots,\Delta s_n,
$$

其中 $\Delta s_i$ 也表示第 $i$ 个小弧段的长度。在每个小弧段上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，作和式

$$
\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta s_i.
$$

记 $\lambda$ 为各小弧段长度的最大值。若极限

$$
\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta s_i
$$

存在，且与 $L$ 的分法及点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法无关，则称此极限为函数 $f(x,y)$ 在曲线弧 $L$ 上**对弧长的曲线积分**，也称**第一类曲线积分**，记作

$$
\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s.
$$

其中 $L$ 称为积分弧段，$f(x,y)$ 称为被积函数，$\mathrm{d}s$ 称为弧长元素。若 $f$ 在 $L$ 上连续，则上述积分存在。

对空间曲线 $\Gamma$ 上的第一类曲线积分，定义完全类似，记作

$$
\int_\Gamma f(x,y,z)\,\mathrm{d}s.
$$

**物理意义**：若曲线形构件占据位置 $L$，线密度为 $\rho(x,y)$，则构件的质量为

$$
M=\int_L \rho(x,y)\,\mathrm{d}s.
$$

因为 $\rho(x,y)\,\mathrm{d}s$ 是一小段弧的质量微元，沿曲线累加就得到总质量。

## 性质

**线性**：设 $\alpha,\beta$ 为常数，则

$$
\int_L \bigl[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)\bigr]\,\mathrm{d}s
=\alpha\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s+\beta\int_L g(x,y)\,\mathrm{d}s.
$$

**对弧段可加**：若 $L=L_1+L_2$，其中 $L_1$ 与 $L_2$ 首尾相接且只在端点相交，则

$$
\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s
=\int_{L_1} f(x,y)\,\mathrm{d}s+\int_{L_2} f(x,y)\,\mathrm{d}s.
$$

**与方向无关**：设 $L^-$ 表示与 $L$ 方向相反的弧，则

$$
\int_{L^-}f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s.
$$

原因是弧长元素 $\mathrm{d}s>0$，只记录小弧段的长度，不记录沿哪个方向走过。这一点与[对坐标的曲线积分](/knowledge/maths/line-integrals/line-integral-coordinates/)不同，后者反向时积分变号。

把对弧长的曲线积分化成定积分时，**积分下限必须小于上限**。$\mathrm{d}s$ 恒为正，参数区间反向时应先把参数范围改写成从小到大的形式，不能靠交换上下限制造符号。

### 计算方法

把曲线参数化后，$\mathrm{d}s$ 就是参数增量的长度倍数，曲线积分随即化为普通定积分。计算时按下面的顺序进行。

1. **写出参数方程并确定参数范围**

   选取使曲线只被经过一次的参数区间，并保证区间下限小于上限。空间曲线还要写出 $z$ 的参数表达式。

2. **计算弧长元素**

   由 $\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}$ 写出 $\mathrm{d}s$ 关于参数增量的表达式，例如参数为 $t$ 时

   $$
   \mathrm{d}s=\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}\,\mathrm{d}t.
   $$

3. **把被积函数用参数表示**

   将 $x=\varphi(t)$、$y=\psi(t)$ 代入 $f(x,y)$，被积函数变成只含 $t$ 的函数。

4. **计算定积分**

   用所得的定积分公式计算。结果是一个数，与曲线的参数化方式无关。

### 参数方程

设 $f(x,y)$ 在曲线弧 $L$ 上连续，$L$ 的参数方程为

$$
\begin{cases}
x=\varphi(t),\\
y=\psi(t),
\end{cases}
\qquad \alpha\le t\le \beta,
$$

其中 $\varphi(t)$、$\psi(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上具有一阶连续导数，且

$$
[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2\ne 0.
$$

则曲线积分存在，且

$$
\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s
=\int_\alpha^\beta f\bigl[\varphi(t),\psi(t)\bigr]
\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}\,\mathrm{d}t.
$$

右端是普通定积分，下限 $\alpha$ 小于上限 $\beta$。

### 直角坐标

若曲线 $L$ 由 $y=y(x)$（$a\le x\le b$）给出，把 $x$ 看作参数，则 $\mathrm{d}s=\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,\mathrm{d}x$，于是

$$
\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s
=\int_a^b f\bigl[x,y(x)\bigr]\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,\mathrm{d}x.
$$

### 极坐标

若曲线 $L$ 由极坐标 $r=r(\theta)$（$\alpha\le\theta\le\beta$）给出，则

$$
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
$$

并且

$$
\mathrm{d}s=\sqrt{r^2+[r'(\theta)]^2}\,\mathrm{d}\theta.
$$

因此

$$
\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s
=\int_\alpha^\beta f(r\cos\theta,r\sin\theta)
\sqrt{r^2+[r'(\theta)]^2}\,\mathrm{d}\theta.
$$

### 空间曲线

若空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程为

$$
x=\varphi(t),\qquad y=\psi(t),\qquad z=\omega(t),
\qquad \alpha\le t\le \beta,
$$

则

$$
\int_\Gamma f(x,y,z)\,\mathrm{d}s
=\int_\alpha^\beta f\bigl[\varphi(t),\psi(t),\omega(t)\bigr]
\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2+[\omega'(t)]^2}\,\mathrm{d}t.
$$

## 例子

**直线段上的积分：$L$ 为 $y=x$，$0\le x\le 1$**

取 $x$ 为参数，$y=x$，$y'=1$，所以

$$
\mathrm{d}s=\sqrt{1+1}\,\mathrm{d}x=\sqrt{2}\,\mathrm{d}x.
$$

被积函数 $x+y=2x$，于是

$$
\int_L (x+y)\,\mathrm{d}s
=\int_0^1 2x\cdot\sqrt{2}\,\mathrm{d}x
=\sqrt{2}.
$$

**上半圆周：$L$ 为 $x^2+y^2=1$，$y\ge 0$**

用极坐标，$r=1$，$0\le\theta\le\pi$，则 $r'=0$，

$$
\mathrm{d}s=\sqrt{1^2+0^2}\,\mathrm{d}\theta=\mathrm{d}\theta.
$$

被积函数 $y=\sin\theta$，所以

$$
\int_L y\,\mathrm{d}s=\int_0^\pi \sin\theta\,\mathrm{d}\theta=2.
$$

这里参数区间从 $0$ 到 $\pi$，下限小于上限；曲线从 $(1,0)$ 沿上半圆走到 $(-1,0)$，第一类积分不关心这个走向。

**空间曲线：$\Gamma$ 为 $x=y=z=t$，$0\le t\le 1$**

此时

$$
\mathrm{d}s=\sqrt{1^2+1^2+1^2}\,\mathrm{d}t=\sqrt{3}\,\mathrm{d}t,
$$

被积函数 $x+y+z=3t$，于是

$$
\int_\Gamma (x+y+z)\,\mathrm{d}s
=\int_0^1 3t\cdot\sqrt{3}\,\mathrm{d}t
=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
$$

## 探索

交互演示：改变行进方向会改变弧长积分吗？。比较线段上同一标量函数的两种方向。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 关于对弧长的曲线积分，下列哪条叙述正确？

   * A.  把曲线方向反过来，积分值变号
   * B.  积分值与曲线方向无关
   * C.  化成定积分时，下限可以大于上限
   * D.  弧长元素 $\mathrm{d}s$ 可正可负

   答案：B

   $\mathrm{d}s>0$ 只记录长度，不记录方向；化成定积分时必须让下限小于上限。

2. $L$ 为从 $(0,0)$ 到 $(3,0)$ 的直线段，则 $\displaystyle\int_L (x+y)\,\mathrm{d}s=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：4.5

   在 $L$ 上 $y=0$，$\mathrm{d}s=\mathrm{d}x$，所以

   $$
   \int_0^3 x\,\mathrm{d}x=\frac{9}{2}.
   $$

3. $L$ 为单位圆的上半圆周，则 $\displaystyle\int_L y\,\mathrm{d}s=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：2

   令 $x=\cos\theta$，$y=\sin\theta$，$0\le\theta\le\pi$，则 $\mathrm{d}s=\mathrm{d}\theta$，

   $$
   \int_0^\pi \sin\theta\,\mathrm{d}\theta=2.
   $$

4. $L$ 为圆周 $x^2+y^2=4$，则 $\displaystyle\int_L (x^2+y^2)\,\mathrm{d}s=$

   * A.  $4\pi$
   * B.  $8\pi$
   * C.  $16\pi$
   * D.  $32\pi$

   答案：C

   在 $L$ 上 $x^2+y^2=4$，而圆的周长为 $2\pi\cdot 2=4\pi$，所以积分为 $4\cdot 4\pi=16\pi$。

## 使用要点

> [!TIP]
> 计算第一类曲线积分时，先选参数化并写出 $\mathrm{d}s$，再代入被积函数。$\mathrm{d}s$ 恒为正，所以下限小于上限，曲线方向不影响结果。