# 对坐标的曲线积分

对坐标的曲线积分沿一条**有向**曲线累加坐标增量，方向和大小都会进入积分值。本页讨论平面有向曲线 $L$ 与空间有向曲线 $\Gamma$ 上的第二类曲线积分，并说明它与[对弧长的曲线积分](/knowledge/maths/line-integrals/line-integral-arc-length/)的关系。有向曲线弧的“光滑”指它有参数方程，各分量具有一阶连续导数且导函数不同时为零；分段光滑指曲线可以分成有限段光滑弧。

## 定义

设 $L$ 为 $xOy$ 平面内从点 $A$ 到点 $B$ 的一条有向光滑曲线弧，函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $L$ 上有界。沿 $L$ 的方向，用 $L$ 上的点 $M_1,M_2,\dots,M_{n-1}$ 将 $L$ 分成 $n$ 个有向小弧段

$$
\overrightarrow{M_{i-1}M_i}\qquad (i=1,2,\dots,n),
$$

其中 $M_0=A$，$M_n=B$。记

$$
\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\qquad \Delta y_i=y_i-y_{i-1},
$$

它们是有向小弧段在两条坐标轴上的投影，方向相反时投影变号。在每个小弧段上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，作和式

$$
\sum_{i=1}^{n}P(\xi_i,\eta_i)\,\Delta x_i,
\qquad
\sum_{i=1}^{n}Q(\xi_i,\eta_i)\,\Delta y_i.
$$

记 $\lambda$ 为各小弧段长度的最大值。若 $\lambda\to 0$ 时上述两个和式的极限都存在，且与分法及取点无关，则分别称它们为函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上**对坐标的曲线积分**，也称**第二类曲线积分**，记作

$$
\int_L P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y.
$$

记号中的两个积分分别与 $\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$ 配对，合并写法表示二者之和。若 $P$、$Q$ 在 $L$ 上连续，则这两个积分存在。

若记 $\mathbf F=(P,Q)$，$\mathrm{d}\mathbf r=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$，则也可写成向量形式

$$
\int_L \mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r
=\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y.
$$

对空间有向曲线 $\Gamma$，类似地定义

$$
\int_\Gamma P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z.
$$

**物理意义**：变力 $\mathbf F=(P,Q)$ 沿有向曲线 $L$ 所做的功为

$$
W=\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y
=\int_L \mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r.
$$

## 性质

**方向性**：设 $L^-$ 表示与 $L$ 方向相反的有向曲线，则

$$
\int_{L^-}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y
=-\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y.
$$

改变方向后，每个 $\Delta x_i$、$\Delta y_i$ 都变号，所以积分值变号。这是第二类曲线积分区别于第一类曲线积分最显著的性质。

**可加性**：若有向曲线 $L$ 由 $L_1$ 与 $L_2$ 首尾相接组成，且方向一致，则

$$
\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y
=\int_{L_1}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y
+\int_{L_2}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y.
$$

**线性**：设 $\alpha,\beta$ 为常数，则

$$
\int_L (\alpha P_1+\beta P_2)\,\mathrm{d}x+(\alpha Q_1+\beta Q_2)\,\mathrm{d}y
=\alpha\int_L P_1\,\mathrm{d}x+Q_1\,\mathrm{d}y
+\beta\int_L P_2\,\mathrm{d}x+Q_2\,\mathrm{d}y.
$$

第一类曲线积分没有方向性，第二类曲线积分反向变号。做题时先确认题目给的是哪一类积分，再决定方向要不要进入计算。

### 计算方法

第二类曲线积分同样通过参数化化成定积分，但参数的起止值必须与曲线的起点、终点对应。

1. **写出有向曲线的参数方程**

   确认参数 $t=\alpha$ 对应起点、$t=\beta$ 对应终点。参数可以不满足 $\alpha<\beta$，关键是起止点与方向一致。

2. **写出坐标微分**

   由 $x=\varphi(t)$、$y=\psi(t)$ 得

   $$
   \mathrm{d}x=\varphi'(t)\,\mathrm{d}t,\qquad
   \mathrm{d}y=\psi'(t)\,\mathrm{d}t.
   $$

3. **代入并合并**

   把 $x,y,\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$ 一起代入，得到只含 $t$ 的定积分。

4. **按方向确定上下限**

   从起点对应的参数积到终点对应的参数。若中途交换上下限，必须同时改变积分符号。

### 参数方程

设有向曲线弧 $L$ 的参数方程为

$$
\begin{cases}
x=\varphi(t),\\
y=\psi(t),
\end{cases}
$$

当参数 $t$ 单调地从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，点 $(x,y)$ 从 $L$ 的起点沿 $L$ 运动到终点。若 $\varphi(t)$、$\psi(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$（或 $[\beta,\alpha]$）上具有一阶连续导数，且 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $L$ 上连续，则

$$
\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y
=\int_\alpha^\beta
\Bigl[P\bigl(\varphi(t),\psi(t)\bigr)\varphi'(t)
+Q\bigl(\varphi(t),\psi(t)\bigr)\psi'(t)\Bigr]\,\mathrm{d}t.
$$

右端的上下限按曲线的方向排列，不要求 $\alpha<\beta$。

### 直角坐标

若 $L$ 由 $y=y(x)$ 给出，$x$ 从 $a$ 变到 $b$，则 $\mathrm{d}y=y'(x)\,\mathrm{d}x$，于是

$$
\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y
=\int_a^b
\Bigl[P\bigl(x,y(x)\bigr)+Q\bigl(x,y(x)\bigr)y'(x)\Bigr]\,\mathrm{d}x.
$$

这里 $a$ 是起点的横坐标，$b$ 是终点的横坐标；曲线从右向左时 $a>b$。

### 空间曲线

若空间有向曲线 $\Gamma$ 的参数方程为

$$
x=\varphi(t),\qquad y=\psi(t),\qquad z=\omega(t),
$$

当 $t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，点从 $\Gamma$ 的起点运动到终点，则

$$
\int_\Gamma P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z
=\int_\alpha^\beta
\Bigl[P\varphi'(t)+Q\psi'(t)+R\omega'(t)\Bigr]\,\mathrm{d}t,
$$

其中 $P,Q,R$ 都在 $(\varphi(t),\psi(t),\omega(t))$ 处取值。

### 两类曲线积分的联系

设有向曲线弧 $L$ 的起点为 $A$、终点为 $B$。在 $L$ 上任一点 $(x,y)$ 处，取指向曲线方向的单位切向量

$$
\mathbf T=(\cos\alpha,\cos\beta),
$$

其中 $\alpha$、$\beta$ 分别是 $\mathbf T$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴正向的夹角。由于 $\mathrm{d}s>0$ 是弧长元素，

$$
\mathrm{d}x=\cos\alpha\,\mathrm{d}s,\qquad
\mathrm{d}y=\cos\beta\,\mathrm{d}s.
$$

代入第二类曲线积分，得到

$$
\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y
=\int_L (P\cos\alpha+Q\cos\beta)\,\mathrm{d}s.
$$

对空间有向曲线 $\Gamma$，若单位切向量的方向余弦为 $\cos\alpha$、$\cos\beta$、$\cos\gamma$，则

$$
\int_\Gamma P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z
=\int_\Gamma (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm{d}s.
$$

联系公式说明：第二类曲线积分可以看作以方向余弦为权重的第一类曲线积分。方向余弦的符号由 $L$ 的方向决定，所以右端仍随方向变号；$\mathrm{d}s$ 本身始终为正。

## 例子

**抛物线：$L$ 为 $y=x^2$，从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$**

取 $x$ 为参数，$x$ 从 $0$ 到 $1$，$\mathrm{d}y=2x\,\mathrm{d}x$。于是

$$
\int_L y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y
=\int_0^1 \bigl(x^2+x\cdot 2x\bigr)\,\mathrm{d}x
=\int_0^1 3x^2\,\mathrm{d}x=1.
$$

被积表达式恰好是 $\mathrm{d}(xy)$，所以也可以用 $xy$ 在两端点的值相减得到 $1$。

**上半圆周：$L$ 为 $x^2+y^2=1$，从 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$**

令 $x=\cos t$，$y=\sin t$，$t$ 从 $0$ 到 $\pi$，则 $\mathrm{d}x=-\sin t\,\mathrm{d}t$，于是

$$
\int_L y\,\mathrm{d}x
=\int_0^\pi \sin t\cdot(-\sin t)\,\mathrm{d}t
=-\int_0^\pi \sin^2 t\,\mathrm{d}t
=-\frac{\pi}{2}.
$$

若把方向反过来，从 $(-1,0)$ 沿同一半圆走到 $(1,0)$，积分值变为 $\dfrac{\pi}{2}$。

**用两类积分的联系验算：$L$ 为从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的直线段**

取 $P=x$，$Q=y$。直接计算：

$$
\int_L x\,\mathrm{d}x+y\,\mathrm{d}y
=\int_0^1 (x+x)\,\mathrm{d}x=1.
$$

另一方面，$L$ 的单位切向量为 $\left(\dfrac{1}{\sqrt2},\dfrac{1}{\sqrt2}\right)$，$\mathrm{d}s=\sqrt2\,\mathrm{d}x$，所以

$$
\int_L (x\cos\alpha+y\cos\beta)\,\mathrm{d}s
=\int_0^1 \frac{2x}{\sqrt2}\cdot\sqrt2\,\mathrm{d}x
=\int_0^1 2x\,\mathrm{d}x=1.
$$

两种算法结果一致。

## 探索

交互演示：反向绕行会怎样改变曲线积分？。比较圆周上两种方向的坐标曲线积分。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 关于对坐标的曲线积分，下列哪条叙述正确？

   * A.  积分值与曲线方向无关
   * B.  把曲线方向反过来，积分值变号
   * C.  化成定积分时，下限必须小于上限
   * D.  弧长元素 $\mathrm{d}s$ 可正可负

   答案：B

   第二类曲线积分的方向性来自 $\Delta x_i$、$\Delta y_i$ 的符号；第一类曲线积分才与方向无关。

2. $L$ 为从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的直线段，则
   $\displaystyle\int_L x\,\mathrm{d}y+y\,\mathrm{d}x=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：1

   在 $L$ 上 $y=x$，$\mathrm{d}y=\mathrm{d}x$，所以

   $$
   \int_0^1 (x+x)\,\mathrm{d}x=1.
   $$

3. $L$ 为从 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$ 的任意分段光滑曲线，则
   $\displaystyle\int_L \mathrm{d}x=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：-2

   被积表达式就是 $\mathrm{d}x$，积分只由端点决定：

   $$
   \int_L \mathrm{d}x=x\big|_{(1,0)}^{(-1,0)}=-1-1=-2.
   $$

4. 设 $L$ 是有向曲线弧，$\cos\alpha$、$\cos\beta$ 是其单位切向量的方向余弦。下列哪个式子正确？

   * A.  $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_L (P\cos\alpha+Q\cos\beta)\,\mathrm{d}s$
   * B.  $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_L (P\cos\beta+Q\cos\alpha)\,\mathrm{d}s$
   * C.  $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_L (P+Q)\,\mathrm{d}s$
   * D.  $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_L (P\sin\alpha+Q\sin\beta)\,\mathrm{d}s$

   答案：A

   由 $\mathrm{d}x=\cos\alpha\,\mathrm{d}s$、$\mathrm{d}y=\cos\beta\,\mathrm{d}s$ 直接代入得到，方向余弦的符号由曲线方向决定。

## 使用要点

> [!NOTE]
> 先确认积分类型和曲线方向，再决定参数的上下限。第一类以 $\mathrm{d}s$ 为微元，反向不变号；第二类以 $\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$ 为微元，反向变号，方向余弦也随方向改变符号。