# 曲线积分与路径无关

## 定义

设 $G$ 是一个开区域，函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数。若对于 $G$ 内任意两点 $A$、$B$，以及 $G$ 内从 $A$ 到 $B$ 的任意两条路径 $L_1$ 和 $L_2$，都有

$$
\int_{L_1}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y
=\int_{L_2}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y,
$$

则称曲线积分 $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内**与路径无关**。

反之，若存在两点 $A$、$B$ 及两条路径使得积分值不等，则称积分**与路径有关**，也称路径相关。

### 等价条件

以下四个条件在单连通区域 $G$ 内相互等价：

1. 曲线积分 $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内与路径无关；
2. 对 $G$ 内的任意闭曲线 $C$，有 $\displaystyle\oint_C P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=0$；
3. 在 $G$ 内恒有 $\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$；
4. $P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 是 $G$ 内某个函数 $u(x,y)$ 的全微分，即 $\mathrm{d}u=P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$。

### 判定定理

设区域 $G$ 是一个**单连通区域**，函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数，则以下两个条件等价：

1. 曲线积分 $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内与路径无关，或沿 $G$ 内任意闭曲线的积分为零；
2. 在 $G$ 内恒有

$$
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
$$

**单连通区域**这个条件不能省。复连通区域中即使处处满足 $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$，曲线积分也不一定与路径无关：绕“洞”的闭曲线积分可能不为零，例子中的 $\dfrac{x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x}{x^2+y^2}$ 就是这种情况。

### 原函数

当积分与路径无关时，从定点 $A(x_0,y_0)$ 到动点 $B(x,y)$ 的曲线积分只与起点和终点有关，可记为

$$
u(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y.
$$

这个 $u(x,y)$ 就是 $P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 的一个原函数，并且

$$
\frac{\partial u}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=Q.
$$

于是 $\mathrm{d}u=P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$，沿任意路径从 $A$ 到 $B$ 的积分都等于 $u(B)-u(A)$。

## 例子

**验证路径无关：$(2x+y)\,\mathrm{d}x+(x+2y)\,\mathrm{d}y$**

这里 $P=2x+y$，$Q=x+2y$，在全平面上

$$
\frac{\partial P}{\partial y}=1=\frac{\partial Q}{\partial x}.
$$

全平面是单连通区域，所以积分与路径无关。取从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的直线段 $y=x$：

$$
\int_L (2x+y)\,\mathrm{d}x+(x+2y)\,\mathrm{d}y
=\int_0^1\bigl[(2x+x)+(x+2x)\bigr]\,\mathrm{d}x
=\int_0^1 6x\,\mathrm{d}x=3.
$$

也可以先看出原函数 $u(x,y)=x^2+xy+y^2$，再用 $u(1,1)-u(0,0)=3$。

**复连通区域的反例：绕原点的闭曲线**

设

$$
P=\frac{-y}{x^2+y^2},\qquad Q=\frac{x}{x^2+y^2},
$$

它们在不含原点的区域 $G=\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$ 内有定义且具有连续偏导数。直接求偏导可得

$$
\frac{\partial P}{\partial y}
=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}
=\frac{\partial Q}{\partial x}.
$$

但取 $C$ 为绕原点一周的逆时针圆周 $x=r\cos t$、$y=r\sin t$（$0\le t\le 2\pi$），则

$$
x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x=r^2\,\mathrm{d}t,
\qquad x^2+y^2=r^2,
$$

所以

$$
\oint_C \frac{x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x}{x^2+y^2}
=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}t=2\pi\ne 0.
$$

$G$ 不是单连通区域，偏导数相等仍不能推出路径无关。

## 探索

交互演示：两条路径的积分为什么相同？。对有势函数的向量场比较直线路径与折线路径。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 在全平面上，
   $\displaystyle\int_{(0,0)}^{(1,1)}(2x+y)\,\mathrm{d}x+(x+2y)\,\mathrm{d}y=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：3

   $P_y=1=Q_x$，全平面单连通，积分与路径无关。取路径 $y=x$，$x$ 从 $0$ 到 $1$，得

   $$
   \int_0^1 6x\,\mathrm{d}x=3.
   $$

   也可用原函数 $u=x^2+xy+y^2$，$u(1,1)-u(0,0)=3$。

2. 设 $P$、$Q$ 在单连通区域 $G$ 内具有一阶连续偏导数。下列哪些条件与曲线积分 $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 与路径无关等价？

   * A.  沿 $G$ 内任意闭曲线的积分为零
   * B.  在 $G$ 内恒有 $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$
   * C.  $P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 是某个函数的全微分
   * D.  $P$、$Q$ 在 $G$ 内有界

   答案：A、B、C

   这三条都是路径无关的等价条件。有界性只是积分存在的辅助条件，并不等价于路径无关。

3. 关于复连通区域上的曲线积分，下列哪条正确？

   * A.  只要 $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$，积分就一定与路径无关
   * B.  绕“洞”的闭曲线积分一定为零
   * C.  即使 $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$，积分也可能与路径有关
   * D.  格林公式在复连通区域上不成立

   答案：C

   复连通区域中可能有绕洞的闭曲线给出非零积分；格林公式仍成立，但边界要取全部边界并注意方向。