# 二重积分的直角坐标计算

设 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，以下讨论先对一个变量、再对另一个变量积分。

## 直角坐标下的计算

在直角坐标下 $\mathrm d\sigma=\mathrm dx\,\mathrm dy$。把二重积分写成[累次积分](/knowledge/maths/multiple-integrals/iterated-integral/)时，哪一层在内、哪一层在外由区域的形状决定，按外层积分变量把区域分成两类。

### X型区域

若 $D$ 可以表示为

$$
D=\{(x,y):a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\},
$$

即左、右边界分别是竖直线 $x=a$ 与 $x=b$，下、上边界分别是连续曲线 $y=\varphi_1(x)$ 与 $y=\varphi_2(x)$，则

$$
\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_a^b\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,\mathrm dy\right]\mathrm dx .
$$

这是先对 $y$、后对 $x$ 的**累次积分**，也称二次积分。

### Y型区域

若 $D$ 可以表示为

$$
D=\{(x,y):c\le y\le d,\ \psi_1(y)\le x\le\psi_2(y)\},
$$

即下、上边界分别是水平线 $y=c$ 与 $y=d$，左、右边界分别是连续曲线 $x=\psi_1(y)$ 与 $x=\psi_2(y)$，则

$$
\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_c^d\left[\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,\mathrm dx\right]\mathrm dy .
$$

> [!NOTE]
> **内层上下限可以是函数，外层必须是常数**
>
> 对固定积分区域，内层积分的上下限可以依赖外层变量；外层上下限不能依赖内层变量。若另有不参与积分的参数，上下限仍可依赖该参数。

### 交换积分次序

同一个二重积分可以按X型或Y型两种次序计算。有时某一次序下的内层积分积不出来（例如被积函数含 $e^{-y^2}$），换一次序就能积。交换次序按下面的步骤进行：

1. **由上下限还原区域**

   从原来的累次积分读出 $D$ 的不等式表示，画出 $D$ 的图形。

2. **改写为另一种类型**

   把同一个 $D$ 重新表示为新次序下的不等式组，得到新的上下限。

3. **写出新次序的累次积分**

   被积函数不变，按新次序安排内层与外层。

> [!WARNING]
> 交换次序不是把 $\mathrm dx$ 与 $\mathrm dy$ 对调就结束。区域没有变，每一层的上下限都要按新次序重新确定；只对调微分而沿用旧上下限，通常得到的是对另一个区域的积分。

## 例子

**X型区域：$\displaystyle\iint_D(x+y)\,\mathrm d\sigma$**

取 $D=\{(x,y):0\le x\le1,\ 0\le y\le x\}$。这是X型区域，$\varphi_1(x)=0$，$\varphi_2(x)=x$，所以

$$
\iint_D(x+y)\,\mathrm d\sigma
=\int_0^1\left[\int_0^x(x+y)\,\mathrm dy\right]\mathrm dx
=\int_0^1\left(x^2+\frac{x^2}{2}\right)\mathrm dx
=\frac32\cdot\frac13=\frac12 .
$$

**交换次序：$\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_x^1e^{-y^2}\,\mathrm dy$**

内层 $\int e^{-y^2}\,\mathrm dy$ 没有初等原函数，按原次序积不出来。由上下限读出区域

$$
D=\{(x,y):0\le x\le1,\ x\le y\le1\}=\{(x,y):0\le y\le1,\ 0\le x\le y\}.
$$

交换次序后内层变成对 $x$ 的积分：

$$
\int_0^1\mathrm dx\int_x^1e^{-y^2}\,\mathrm dy
=\int_0^1\mathrm dy\int_0^ye^{-y^2}\,\mathrm dx
=\int_0^1ye^{-y^2}\,\mathrm dy
=\frac12\left(1-\frac1e\right).
$$

## 探索

交互演示：交换次序后如何重写积分限？。用两种方向的切片描述同一三角形区域。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $D$ 由 $y=x$、$y=0$、$x=1$ 围成，把 $\displaystyle\iint_D f\,\mathrm d\sigma$ 化为先对 $y$ 后对 $x$ 的累次积分，结果是：

   * A.  $\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_0^xf\,\mathrm dy$
   * B.  $\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_x^1f\,\mathrm dy$
   * C.  $\displaystyle\int_0^1\mathrm dy\int_0^{1-y}f\,\mathrm dx$
   * D.  $\displaystyle\int_0^1\mathrm dy\int_y^1f\,\mathrm dx$

   答案：A

   $D$ 是 $0\le x\le1$、$0\le y\le x$ 的三角形，所以内层对 $y$ 的积分限是 $0$ 到 $x$。

2. 交换次序：$\displaystyle\int_0^1\mathrm dy\int_y^1f(x,y)\,\mathrm dx$ 等于：

   * A.  $\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_0^xf\,\mathrm dy$
   * B.  $\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_x^1f\,\mathrm dy$
   * C.  $\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_0^{1-x}f\,\mathrm dy$
   * D.  $\displaystyle\int_0^1\mathrm dy\int_0^yf\,\mathrm dx$

   答案：A

   原区域为 $0\le y\le1$、$y\le x\le1$，等价于 $0\le x\le1$、$0\le y\le x$。换成先对 $y$ 后对 $x$ 后，内层限是 $0$ 到 $x$。

3. $\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_0^x(x+y)\,\mathrm dy=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：0.5

   内层积分为 $\dfrac32x^2$，再对 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 积分得 $\dfrac12$。