# 二重积分的概念与性质

设 $D$ 是 $xOy$ 平面上的有界闭区域，其边界面积为零，$f(x,y)$ 是定义在 $D$ 上的函数。二重积分把“分割、求和、取极限”的过程搬到二维区域上，结果是一个数 $\iint_D f\,\mathrm d\sigma$。本页记面积元素为 $\mathrm d\sigma$，它在直角坐标下写成 $\mathrm dx\,\mathrm dy$；区域 $D$ 的面积记为 $A$。

## 背景

### 曲顶柱体的体积

设空间中的柱体以 $D$ 为底面，侧面以 $D$ 的边界为准线、母线平行于 $z$ 轴，顶面是连续函数 $z=f(x,y)$ 的图像，且 $f(x,y)\ge 0$。这样的立体称为**曲顶柱体**。

求它的体积 $V$ 时，把 $D$ 分成许多小区域，每一小块上用“平顶”柱体近似“曲顶”柱体，再把所有小体积相加并取极限。

### 平面薄片的质量

设 $xOy$ 平面上有一块占有区域 $D$ 的薄片，其面密度由连续函数 $\rho(x,y)$ 给出，且不为常数。把薄片分成若干小块，假定每一小块内密度均匀，求出各小块质量的近似值，再求和、取极限，就得到总质量 $M$。

## 定义

定义从对平面区域的分割与求和出发，可以概括为四步：

1. **分割**

   把闭区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\dots,\Delta\sigma_n$，它们的面积也记作 $\Delta\sigma_i$。同一个记号既表示小区域，也表示它的面积。

2. **近似**

   在每个 $\Delta\sigma_i$ 内任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，用乘积 $f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$ 作为这一小块上部分量的近似值。

3. **求和**

   把所有小块的近似值相加，得到和式

   $$
   \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i .
   $$

4. **取极限**

   记 $\lambda$ 为各小区域直径的最大值，令 $\lambda\to0$，考察上述和式的极限。

若这个极限存在，并且极限值与 $D$ 的分法、每块内所取点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法都无关，则称此极限为 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的**二重积分**，记作

$$
\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i .
$$

记号各部分的名称：

* $\iint$：二重积分号；
* $D$：积分区域；
* $f(x,y)$：被积函数；
* $\mathrm d\sigma$：面积元素，直角坐标下常写作 $\mathrm dx\,\mathrm dy$。

> [!IMPORTANT]
> **可积性要核对两件事**
>
> 定义既要求和式的极限存在，也要求极限值与分法、取点无关。只要换一种分法或换一组点就得到另一个极限值，这个和式就不能定义二重积分。

> [!NOTE]
> 本页默认 $f$ 在 $D$ 上连续。连续函数在有界闭区域上的二重积分一定存在；反过来，可积函数至少在 $D$ 上有界。

## 性质

以下设 $f$、$g$ 在 $D$ 上可积，$A$ 是 $D$ 的面积。这些性质用于估计积分值、比较两个积分的大小，以及把区域拆开分别计算。

### 线性性质

设 $\alpha,\beta$ 为常数，则

$$
\iint_D[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\,\mathrm d\sigma=\alpha\iint_D f\,\mathrm d\sigma+\beta\iint_D g\,\mathrm d\sigma .
$$

### 区域可加性

若 $D$ 被分成两个互不重叠（只允许边界相交）的子区域 $D_1$ 与 $D_2$，则

$$
\iint_D f\,\mathrm d\sigma=\iint_{D_1}f\,\mathrm d\sigma+\iint_{D_2}f\,\mathrm d\sigma .
$$

### 面积性质

若在 $D$ 上 $f(x,y)\equiv1$，则

$$
\iint_D 1\,\mathrm d\sigma=\iint_D\mathrm d\sigma=A .
$$

### 比较性质与保号性

若在 $D$ 上 $f(x,y)\le g(x,y)$，则

$$
\iint_D f\,\mathrm d\sigma\le\iint_D g\,\mathrm d\sigma .
$$

特别地，若在 $D$ 上 $f(x,y)\ge0$，则 $\iint_D f\,\mathrm d\sigma\ge0$，这一条也称保号性。

对 $-|f|\le f\le|f|$ 用两次比较性质，得到

$$
\left|\iint_D f\,\mathrm d\sigma\right|\le\iint_D|f|\,\mathrm d\sigma .
$$

### 估值定理

设 $M$、$m$ 分别是 $f$ 在 $D$ 上的最大值与最小值，则

$$
mA\le\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma\le MA .
$$

### 中值定理

设 $D$ 连通且面积 $A>0$，$f$ 在 $D$ 上连续，则 $D$ 中至少存在一点 $(\xi,\eta)$，使

$$
\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=f(\xi,\eta)\,A .
$$

**证明** 中值定理的证明

$f$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，因此在 $D$ 上取到最小值 $m$ 与最大值 $M$，依据见 [多元函数的连续性](/knowledge/maths/multivariable-calculus/multivariable-continuity/) 中有界闭区域上连续函数的性质。由估值定理，

$$
m\le\frac1A\iint_D f\,\mathrm d\sigma\le M .
$$

$D$ 是连通区域，连续函数在连通区域上取到 $m$ 与 $M$ 之间的每一个值，所以存在 $(\xi,\eta)\in D$ 使

$$
f(\xi,\eta)=\frac1A\iint_D f\,\mathrm d\sigma ,
$$

两边乘以 $A$ 即得结论。

## 例子

**曲顶柱体的体积：$z=1-x-y$ 在三角形区域上**

取

$$
D=\{(x,y):x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 1\},\qquad f(x,y)=1-x-y .
$$

在 $D$ 上 $f\ge 0$，对应的曲顶柱体是以 $D$ 为底面、顶点在原点上方的四面体，四个顶点为

$$
(0,0,0),\quad(1,0,0),\quad(0,1,0),\quad(0,0,1).
$$

它的体积为 $\dfrac16$，所以

$$
\iint_D(1-x-y)\,\mathrm d\sigma=\frac16 .
$$

左边是按定义写出的二重积分，右边是这个立体的几何体积。把二重积分化为累次积分的方法见[二重积分的直角坐标计算](/knowledge/maths/multiple-integrals/double-integral-computation/)。

**用估值定理估计积分**

设 $D=[0,1]\times[0,1]$，$f(x,y)=\dfrac1{1+x+y}$。$D$ 的面积为 $1$，$f$ 的最小值在 $(1,1)$ 处为 $\dfrac13$，最大值在 $(0,0)$ 处为 $1$，于是

$$
\frac13\le\iint_D\frac{\mathrm d\sigma}{1+x+y}\le 1 .
$$

**中值定理的数值含义**

设 $f$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，$D$ 的面积为 $3$，且 $\iint_D f\,\mathrm d\sigma=6$。由中值定理，$D$ 中存在一点 $(\xi,\eta)$ 使

$$
f(\xi,\eta)=\frac{6}{3}=2 .
$$

积分值等于“某一点的函数值乘以区域面积”，这里的 $2$ 就是 $f$ 在 $D$ 上的平均值。

## 探索

交互演示：二重积分怎样由小区域求和得到？。用中点和逼近单位正方形上的积分。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $D$ 的面积为 $4$，$f$ 在 $D$ 上满足 $1\le f(x,y)\le 3$，则 $\displaystyle\iint_D f\,\mathrm d\sigma$ 的取值范围是：

   * A.  $[4,12]$
   * B.  $[1,3]$
   * C.  $[3,4]$
   * D.  $[0,4]$

   答案：A

   由估值定理，$m=1$、$M=3$、$A=4$，积分落在 $[1\cdot4,\ 3\cdot4]=[4,12]$ 内。

2. 设 $f$、$g$ 在同一个区域 $D$ 上可积，下列各式中一定成立的有哪些？

   * A.  $\displaystyle\iint_D(f+g)\,\mathrm d\sigma=\iint_D f\,\mathrm d\sigma+\iint_D g\,\mathrm d\sigma$
   * B.  若在 $D$ 上 $f\le g$，则 $\displaystyle\iint_D f\,\mathrm d\sigma\le\iint_D g\,\mathrm d\sigma$
   * C.  $\displaystyle\left|\iint_D f\,\mathrm d\sigma\right|\le\iint_D|f|\,\mathrm d\sigma$
   * D.  $\displaystyle\iint_D fg\,\mathrm d\sigma=\left(\iint_D f\,\mathrm d\sigma\right)\left(\iint_D g\,\mathrm d\sigma\right)$

   答案：A、B、C

   A、B、C分别是线性性质、比较性质和比较性质的推论。A只取 $\alpha=\beta=1$ 的情形。二重积分没有“乘积的积分等于积分的乘积”这条性质，D不成立。

3. $D=[0,1]\times[0,2]$，被积函数 $f(x,y)\equiv3$，则 $\displaystyle\iint_D f\,\mathrm d\sigma=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：6

   由面积性质，$\iint_D3\,\mathrm d\sigma=3A=3\times2=6$。

4. 关于中值定理 $\displaystyle\iint_D f\,\mathrm d\sigma=f(\xi,\eta)A$，下列条件中必需的是：

   * A.  $f$ 在有界闭区域 $D$ 上连续
   * B.  $f$ 在 $D$ 上非负
   * C.  $f$ 在 $D$ 上单调
   * D.  $D$ 是矩形

   答案：A

   $(\xi,\eta)$ 由连续函数在连通区域上的介值性保证，因此连续性不可省；非负、单调和区域的形状都不是条件。