# 二重积分的极坐标计算

## 极坐标变换与积分公式

### 适用场景

当 $D$ 的边界由圆弧、射线组成，或者被积函数含 $x^2+y^2$、$\dfrac yx$ 等形式时，用极坐标通常更简单。

### 变换与面积元素

极坐标与直角坐标的关系为

$$
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r\ge0 .
$$

这个变换的雅可比行列式是

$$
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=r ,
$$

于是

$$
\mathrm d\sigma=\mathrm dx\,\mathrm dy=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta .
$$

面积元素中多出的因子 $r$ 来自坐标变换，不能漏写。

### 极坐标下的公式

若区域可以沿每条选定射线写成单个径向区间，且角度范围不重复覆盖区域，即

$$
D=\{(r,\theta):\alpha\le\theta\le\beta,\ r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta)\},
$$

则

$$
\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_\alpha^\beta\left[\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta .
$$

### 两类常见区域

**极点在区域外部且各射线与区域的交集为单个区间。** 此时 $\theta$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$，$r$ 从内边界 $r_1(\theta)$ 变到外边界 $r_2(\theta)$，直接使用上面的公式。

**极点在区域内部且区域关于极点是星形。** 若 $D$ 的边界曲线为 $r=r(\theta)$，极角范围是 $0\le\theta\le2\pi$，则内层积分的下限为 $r=0$，公式简化为

$$
\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_0^{2\pi}\left[\int_0^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta .
$$

特别地，$D$ 是以原点为圆心、$R$ 为半径的圆域时 $r(\theta)=R$，此时

$$
\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_0^{2\pi}\left[\int_0^R f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta .
$$

极点在边界上时，若所取射线与区域的交集都从极点开始，$r$ 的下限为 $0$，$\theta$ 只覆盖区域张开的角。例如 $x^2+y^2\le2x$ 的边界为 $r=2\cos\theta$，对应 $-\dfrac\pi2\le\theta\le\dfrac\pi2$。不满足单区间条件的区域需要分块。

## 例子

**极点在内部：$\displaystyle\iint_{x^2+y^2\le1}e^{-x^2-y^2}\,\mathrm d\sigma$**

取单位圆域 $D$，极点在内部，$0\le\theta\le2\pi$，$0\le r\le1$，且 $x^2+y^2=r^2$，于是

$$
\iint_De^{-x^2-y^2}\,\mathrm d\sigma
=\int_0^{2\pi}\left[\int_0^1e^{-r^2}r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta
=2\pi\cdot\frac12\left(1-\frac1e\right)
=\pi\left(1-\frac1e\right).
$$

**极点在边界上：圆域 $x^2+y^2\le2x$ 的面积**

把 $x^2+y^2=2x$ 配方得 $(x-1)^2+y^2=1$，这是圆心在 $(1,0)$、半径为 $1$ 的圆。代入 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，边界化为 $r^2=2r\cos\theta$，即 $r=2\cos\theta$。极点在圆周上，$\theta$ 取 $-\dfrac\pi2$ 到 $\dfrac\pi2$，$r$ 从 $0$ 到 $2\cos\theta$，所以

$$
A=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[\int_0^{2\cos\theta}r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta
=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2\cos^2\theta\,\mathrm d\theta
=2\cdot\frac\pi2=\pi .
$$

## 探索

交互演示：极坐标的面积元素为什么有径向因子？。移动环形扇区，比较它的准确面积与面积元素近似。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 极坐标下二重积分的面积元素是：

   * A.  $r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$
   * B.  $\mathrm dr\,\mathrm d\theta$
   * C.  $r^2\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$
   * D.  $\dfrac1r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$

   答案：A

   变换的雅可比行列式等于 $r$，所以 $\mathrm d\sigma=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$。

2. 圆域 $D:x^2+y^2\le2x$ 的极坐标表示是：

   * A.  $-\dfrac\pi2\le\theta\le\dfrac\pi2$，$0\le r\le2\cos\theta$
   * B.  $0\le\theta\le2\pi$，$0\le r\le2$
   * C.  $0\le\theta\le\pi$，$0\le r\le2\sin\theta$
   * D.  $0\le\theta\le\dfrac\pi2$，$0\le r\le2\cos\theta$

   答案：A

   代入 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ 得 $r\le2\cos\theta$。$r\ge0$ 要求 $\cos\theta\ge0$，即 $-\dfrac\pi2\le\theta\le\dfrac\pi2$，这一段覆盖整个圆。