# 三重积分的直角坐标计算

## 计算方法

设 $\Omega$ 为有界空间区域，$f$ 在其上连续。以下公式要求所用投影与截面可积；切片不是单个区间时，可将区域分块。

直角坐标下 $\mathrm dv=\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$。化为三次积分时，按“先积几个变量”分成两种做法：先对一个变量积分、再对剩下两个变量积分的叫“先一后二”，反过来叫“先二后一”。选哪种，取决于区域形状和截面面积是否容易求。

### 投影法（先一后二）

把 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面，得到投影区域 $D_{xy}$。若对 $D_{xy}$ 内每一点 $(x,y)$，$z$ 的变化范围是

$$
z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),
$$

则

$$
\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv=\iint_{D_{xy}}\left[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\,\mathrm dz\right]\mathrm d\sigma .
$$

内层是对 $z$ 的定积分，结果是 $x,y$ 的函数，再对 $D_{xy}$ 做二重积分。同样可以把 $\Omega$ 投影到 $yOz$ 或 $zOx$ 平面，此时内层分别先对 $x$ 或 $y$ 积分。

### 截面法（先二后一）

用平行于某一坐标平面的平面去截 $\Omega$，得到一系列截面。例如用平行于 $xOy$ 平面的平面 $z=z_0$ 截 $\Omega$，得到截面区域 $D(z)$；设 $z$ 的变化范围是 $c_1\le z\le c_2$，则

$$
\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv=\int_{c_1}^{c_2}\left[\iint_{D(z)}f(x,y,z)\,\mathrm d\sigma\right]\mathrm dz .
$$

截面法适合截面面积容易求出的情形：内层是对 $x,y$ 的二重积分，外层只对 $z$ 积分一次。

> [!WARNING]
> 投影法的内层上下限 $z_1(x,y)$、$z_2(x,y)$ 一般依赖 $x,y$，不能当作常数提到二重积分外面。只有上下底面都是水平平面时，它们才是常数。

## 例子

**投影法：$\displaystyle\iiint_{[0,1]^3}xyz\,\mathrm dv$**

取 $\Omega=[0,1]\times[0,1]\times[0,1]$，投影区域是单位正方形，$z$ 从 $0$ 到 $1$，所以

$$
\iiint_\Omega xyz\,\mathrm dv
=\iint_{D_{xy}}\left[\int_0^1xyz\,\mathrm dz\right]\mathrm d\sigma
=\iint_{D_{xy}}\frac{xy}{2}\,\mathrm d\sigma
=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18 .
$$

三个变量的积分限都是常数，三层定积分可以任意调换次序。

**截面法：$\displaystyle\iiint_{x^2+y^2+z^2\le1}z^2\,\mathrm dv$**

取 $\Omega$ 为单位球。固定 $z\in[-1,1]$，截面为圆域

$$
D(z)=\{(x,y):x^2+y^2\le1-z^2\},
$$

其面积为 $\pi(1-z^2)$。被积函数 $z^2$ 在截面上是常数，于是

$$
\iiint_\Omega z^2\,\mathrm dv
=\int_{-1}^{1}z^2\pi(1-z^2)\,\mathrm dz
=\pi\left(\frac23-\frac25\right)
=\frac{4\pi}{15}.
$$

这里被积函数只含 $z$、截面积又容易求，截面法比投影法省事。

## 探索

交互演示：单位球的截面如何随高度变化？。移动水平截面，观察圆盘及其面积。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 用平行于 $xOy$ 平面的平面 $z=z_0$ 截 $\Omega$ 得截面 $D(z)$，先算 $\displaystyle\iint_{D(z)}f\,\mathrm d\sigma$，再对 $z$ 积分。这种做法称为：

   * A.  截面法（先二后一）
   * B.  投影法（先一后二）
   * C.  柱面坐标法
   * D.  球面坐标法

   答案：A

   先对 $x,y$ 做二重积分、后对 $z$ 积分，所以是“先二后一”的截面法。投影法恰好相反，先对 $z$ 积分。