# 三重积分的柱面坐标计算

## 变换与积分公式

设 $f$ 在有界空间区域 $\Omega$ 上连续。若区域不能用一组柱面坐标积分限表示，可以将其分块后分别计算。

柱面坐标是极坐标的推广，与直角坐标的关系为

$$
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
$$

其中 $r\ge0$，$0\le\theta\le2\pi$，$-\infty<z<+\infty$。体积元素为

$$
\mathrm dv=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz .
$$

若 $\Omega$ 在柱面坐标下表示为

$$
\alpha\le\theta\le\beta,\qquad r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta),\qquad z_1(r,\theta)\le z\le z_2(r,\theta),
$$

则

$$
\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv
=\int_\alpha^\beta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}\int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\,r\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta .
$$

**适用场景**：当 $\Omega$ 的侧面是圆柱面、锥面等旋转曲面，或被积函数含 $x^2+y^2$ 时，用柱面坐标通常比直角坐标省事。

## 例子

**柱面坐标：$\displaystyle\iiint_{x^2+y^2\le1,\ 0\le z\le1}z\,\mathrm dv$**

区域是单位圆柱体，柱面坐标下 $0\le\theta\le2\pi$，$0\le r\le1$，$0\le z\le1$，体积元素为 $r\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$，所以

$$
\iiint_\Omega z\,\mathrm dv
=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^1z\,r\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta
=2\pi\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac\pi2 .
$$

## 探索

交互演示：圆柱体的积分限怎样对应空间区域？。改变半径和高度，比较圆柱形区域与柱面坐标积分。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 柱面坐标下的体积元素是：

   * A.  $r\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$
   * B.  $\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$
   * C.  $r^2\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$
   * D.  $\dfrac1r\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$

   答案：A

   柱面坐标只是把平面极坐标与 $z$ 拼起来，平面部分的面积元素是 $r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$，再乘 $\mathrm dz$ 即得。