# 三重积分的球面坐标计算

## 变换与积分公式

设 $f$ 在有界空间区域 $\Omega$ 上连续。以下使用的积分限应覆盖区域一次；不能用一组积分限表示时，可以先分块。

球面坐标与直角坐标的关系为

$$
x=r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=r\cos\varphi,
$$

其中 $r\ge0$ 是点到原点的距离，$0\le\varphi\le\pi$ 是极角（与 $z$ 轴正向的夹角），$0\le\theta\le2\pi$ 是方位角（点在 $xOy$ 平面的投影与 $x$ 轴正向的有向角）。体积元素为

$$
\mathrm dv=r^2\sin\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta .
$$

若 $\Omega$ 在球面坐标下表示为

$$
\theta_1\le\theta\le\theta_2,\qquad\varphi_1(\theta)\le\varphi\le\varphi_2(\theta),\qquad r_1(\theta,\varphi)\le r\le r_2(\theta,\varphi),
$$

则

$$
\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv
=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}\int_{r_1(\theta,\varphi)}^{r_2(\theta,\varphi)}
f(r\sin\varphi\cos\theta,\,r\sin\varphi\sin\theta,\,r\cos\varphi)\,
r^2\sin\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta .
$$

上式把代入后的被积函数简记为 $f(\cdot)$，即 $f$ 后面那一串球面坐标表达式；球体等特殊区域也沿用这个简写。

**适用场景**：当 $\Omega$ 是球体、半球、锥体等，或被积函数含 $x^2+y^2+z^2$ 时，用球面坐标比较简便。

特别地，当 $\Omega$ 是以原点为球心、$R$ 为半径的球体时，

$$
\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv
=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^R f(\cdot)\,r^2\sin\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta .
$$

## 例子

**球面坐标：单位球的体积**

取 $\Omega$ 是以原点为球心、$R=1$ 的球体。球面坐标下 $0\le\theta\le2\pi$，$0\le\varphi\le\pi$，$0\le r\le1$，被积函数为 $1$，于是

$$
V=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1r^2\sin\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta
=2\pi\cdot2\cdot\frac13=\frac{4\pi}{3}.
$$

## 探索

交互演示：球面坐标的极角怎样限定区域？。在球的轴截面中观察极角扫出的空间区域。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 球面坐标下的体积元素是：

   * A.  $r^2\sin\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta$
   * B.  $r\sin\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta$
   * C.  $r^2\cos\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta$
   * D.  $\sin\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta$

   答案：A

   球面坐标变换的雅可比行列式为 $r^2\sin\varphi$，所以体积元素多出因子 $r^2\sin\varphi$。

2. 上半球 $x^2+y^2+z^2\le1$，$z\ge0$ 的球面坐标表示是：

   * A.  $0\le r\le1$，$0\le\varphi\le\dfrac\pi2$，$0\le\theta\le2\pi$
   * B.  $0\le r\le1$，$0\le\varphi\le\pi$，$0\le\theta\le\pi$
   * C.  $0\le r\le1$，$0\le\varphi\le\dfrac\pi2$，$0\le\theta\le\pi$
   * D.  $0\le r\le1$，$\dfrac\pi2\le\varphi\le\pi$，$0\le\theta\le2\pi$

   答案：A

   $z\ge0$ 对应 $r\cos\varphi\ge0$，即 $0\le\varphi\le\dfrac\pi2$；绕 $z$ 轴一周对应 $0\le\theta\le2\pi$。

3. 下列情形中，适合用球面坐标计算三重积分的有哪些？

   * A.  $\Omega$ 是球体或半球
   * B.  被积函数含 $x^2+y^2+z^2$
   * C.  $\Omega$ 是圆柱体，被积函数只含 $x^2+y^2$
   * D.  $\Omega$ 由锥面与球面围成

   答案：A、B、D

   球面坐标适合球体、半球、锥面与球面围成的区域，以及含 $x^2+y^2+z^2$ 的被积函数。圆柱体与只含 $x^2+y^2$ 的函数改用柱面坐标更省事，C不选。