# 三重积分

设 $\Omega$ 是空间有界闭区域，$f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上有定义。三重积分把 [二重积分](/knowledge/maths/multiple-integrals/double-integral/) 中分割、求和、取极限的过程照搬到空间区域上。本页记体积元素为 $\mathrm dv$，直角坐标下它写成 $\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$；$\Omega$ 的体积记作 $V$，$\Omega$ 的边界曲面假设充分光滑，被积函数连续。

## 定义

把 $\Omega$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta v_1,\Delta v_2,\dots,\Delta v_n$，记号 $\Delta v_i$ 既表示第 $i$ 个小闭区域，也表示它的体积。在每个 $\Delta v_i$ 内任取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$，作和式

$$
\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i .
$$

记 $\lambda$ 为各小闭区域直径的最大值。若 $\lambda\to0$ 时上述和式的极限存在，且极限值与 $\Omega$ 的划分方式、取点方式都无关，则称此极限为 $f(x,y,z)$ 在空间闭区域 $\Omega$ 上的**三重积分**，记作

$$
\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i .
$$

其中 $\Omega$ 是积分区域，$f(x,y,z)$ 是被积函数，$\mathrm dv$ 是体积元素。

### 物理意义

若空间物体占有区域 $\Omega$，体密度为 $\rho(x,y,z)$，则物体的质量为

$$
M=\iiint_\Omega\rho(x,y,z)\,\mathrm dv .
$$

当 $f(x,y,z)\equiv1$ 时，$\iiint_\Omega\mathrm dv$ 等于区域 $\Omega$ 的体积：

$$
\iiint_\Omega\mathrm dv=V .
$$

> [!NOTE]
> 三重积分与二重积分只差区域维数和相应的元素。二重积分的线性性质、区域可加性、比较性质、估值定理和中值定理逐条照搬，只需把面积 $A$ 换成体积 $V$。

## 例子

**单位立方体的体积**

被积函数为 $1$ 时，$[0,1]^3$ 上的三重积分等于区域体积 $1$。

## 探索

交互演示：常数1的三重积分表示什么？。改变长方体边长，观察体积积分。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $\displaystyle\iiint_{[0,1]^3}\mathrm dv=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：1

   被积函数为 $1$ 时，三重积分的值等于区域体积。单位立方体的体积是 $1$。