# 条件极值与拉格朗日乘数法

## 定义

无条件极值问题只要求自变量落在定义域内，称为**无条件极值**。若还要求自变量满足附加约束，例如点必须在一条确定的曲线或一张确定的曲面上，对应的极值称为**条件极值**。

求 $z=f(x,y)$ 在约束 $\varphi(x,y)=0$ 下的极值点，常用**拉格朗日乘数法**。它的做法是引入参数 $\lambda$，构造**拉格朗日函数**

$$
L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y),
$$

其中 $\lambda$ 称为**拉格朗日乘子**，再用乘子方程寻找候选点。若约束函数在候选点可微且梯度非零，约束极值点必须满足这些方程；$L$ 作为所有变量的函数不必在该点取得无条件极值。

1. **构造拉格朗日函数**

   把约束写成 $\varphi(x,y)=0$，取 $L=f+\lambda\varphi$。

2. **令一阶偏导数全为零**

   解方程组

   $$
   \begin{cases}
   L_x=f_x+\lambda\varphi_x=0,\\
   L_y=f_y+\lambda\varphi_y=0,\\
   L_\lambda=\varphi(x,y)=0.
   \end{cases}
   $$

3. **解出候选点并判断**

   方程组给出正则约束上的候选点；约束梯度为零的点和约束集合的边界也要单独检查。再根据问题的实际意义、边界上的取值或更高阶的条件，确定它是否为极值或最值。

方法可以直接推广到三元及更多元的函数，也可以处理多个约束：每个约束乘一个乘子，把所有 $\lambda_j\varphi_j$ 都加进 $L$。

> [!TIP]
> 乘子 $\lambda$ 本身通常不需要求出具体值，它的作用是让约束条件进入方程组。若题目只问最值，解出候选点后直接比较函数值即可。

## 例子

**拉格朗日乘数法：$f(x,y)=xy$ 在 $x+y=1$ 上**

约束为 $\varphi(x,y)=x+y-1=0$。构造

$$
L=xy+\lambda(x+y-1),
$$

令

$$
\begin{cases}
L_x=y+\lambda=0,\\
L_y=x+\lambda=0,\\
L_\lambda=x+y-1=0.
\end{cases}
$$

前两式给出 $x=y$，代入第三式得 $x=y=\tfrac12$，此时 $f=\tfrac14$。沿约束 $y=1-x$，函数化为 $f=x(1-x)$，这是以 $x=\tfrac12$ 为顶点、开口向下的抛物线，所以 $\tfrac14$ 是约束下的最大值。

## 探索

交互演示：约束如何改变极值问题？。沿直线x + y = 1比较xy的取值。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 在约束 $x+y=2$ 下，$f(x,y)=xy$ 的最大值为 \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：1

   由拉格朗日乘数法或直接代入 $y=2-x$，得 $f=x(2-x)$，在 $x=1$ 处取最大值 $1$。