# 向量值函数与导向量

## 定义

设 $x(t)$、$y(t)$、$z(t)$ 是定义在区间 $I$ 上的实函数，则

$$
\mathbf r(t)
=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j+z(t)\mathbf k
=(x(t),y(t),z(t))
$$

称为**一元向量值函数**。它的自变量是实数 $t$，函数值是三维向量。随着 $t$ 变化，向量 $\mathbf r(t)$ 的终点描出空间中的一条曲线，$\mathbf r(t)$ 就是从原点指向该点的位置向量。

向量值函数的极限与连续按分量定义：

* 若三个分量函数的极限都存在，则
  $$
  \lim_{t\to t_0}\mathbf r(t)
  =\left(\lim_{t\to t_0}x(t),\ \lim_{t\to t_0}y(t),\ \lim_{t\to t_0}z(t)\right);
  $$
* 若三个分量函数都在 $t_0$ 处连续，则 $\mathbf r(t)$ 在 $t_0$ 处连续。

若各分量均可导，$\mathbf r(t)$ 的导数（也称**导向量**）定义为

$$
\mathbf r'(t)
=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf r(t+\Delta t)-\mathbf r(t)}{\Delta t}
=(x'(t),y'(t),z'(t)).
$$

当 $\mathbf r'(t_0)\ne\mathbf 0$ 时，它是曲线在对应点处的**切向量**，方向指向 $t$ 增大的方向。若 $\mathbf r'(t_0)=\mathbf 0$，曲线在该点仍可能有切线，但不能直接把导向量当作切向量。

## 探索

交互演示：螺旋线的导向量怎样变化？。改变参数并查看位置与导向量。 请在站点操作演示。