# 多元函数在区域上的最值

## 定义

在有界闭区域 $D$ 上连续的多元函数一定取得最大值和最小值，见[多元函数的连续性](/knowledge/maths/multivariable-calculus/multivariable-continuity/)中的有界闭区域性质。求连续函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上的最值，一般按以下步骤进行：

1. **收集区域内部的候选点**

   求出 $D$ 内部的所有驻点，以及偏导数不存在但函数有定义的点，计算这些点处的函数值。

2. **求边界上的最值**

   把边界曲线代入 $f$，化为一元函数的最值问题；边界也可以按条件极值处理。

3. **比较所有候选值**

   内部候选值与边界最值中，最大的就是 $D$ 上的最大值，最小的就是最小值。

> [!IMPORTANT]
> 最值可能出现在边界上，只在内部驻点中寻找会漏解。极值是局部概念，最值是整体概念：一个函数可以有多个极大值，但最大值至多一个。

## 例子

**有界闭区域上的最值：$f(x,y)=x^2+y^2$ 在 $x^2+y^2\le 1$ 上**

区域内部只有驻点 $(0,0)$，$f(0,0)=0$。边界是单位圆，在边界上 $f=1$。比较所有候选值，最大值为 $1$（边界上每一点都取到），最小值为 $0$（在原点取到）。

若把区域换成开圆盘 $x^2+y^2<1$，最小值仍是 $0$，但最大值不存在：函数值可以任意接近 $1$，却取不到 $1$。这说明最值定理要求区域有界且闭。

## 探索

交互演示：最值可能出现在区域边界吗？。观察平方和函数在闭圆盘上的取值。 请在站点操作演示。