# 梯度

## 定义

设 $f$ 在平面区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数。对每一点 $P(x,y)\in D$，把该点的两个偏导数排成一个向量

$$
\mathbf{grad}\,f(x,y)=\nabla f(x,y)
=f_x(x,y)\,\mathbf i+f_y(x,y)\,\mathbf j,
$$

称它为 $f$ 在点 $P$ 的**梯度**。三元函数 $u=f(x,y,z)$ 的梯度为

$$
\mathbf{grad}\,f=\nabla f
=f_x\,\mathbf i+f_y\,\mathbf j+f_z\,\mathbf k .
$$

记号 $\nabla$ 读作Nabla，称为**向量微分算子**，也叫哈密顿算子：

$$
\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\mathbf i
+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf j
+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf k .
$$

它是一个运算符号，作用在标量函数 $f$ 上直接得到 $f$ 的梯度。

梯度是向量，其模为

$$
|\nabla f|=\sqrt{f_x^2+f_y^2},
$$

三元时根号内再加 $f_z^2$。梯度为零向量等价于两个（或三个）一阶偏导数同时为零。

## 性质

### 与方向导数的关系

把方向余弦写成单位向量 $\mathbf e_l=(\cos\alpha,\cos\beta)$，方向导数的计算公式就是梯度与 $\mathbf e_l$ 的内积：

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0}
=\nabla f(P_0)\cdot\mathbf e_l
=|\nabla f(P_0)|\cos\theta,
$$

其中 $\theta$ 是 $\nabla f(P_0)$ 与 $\mathbf e_l$ 的夹角。设 $\nabla f(P_0)\ne\mathbf 0$，由 $\cos\theta$ 的取值范围得到三条结论：

1. 当 $\theta=0$，即 $l$ 取梯度方向时，方向导数最大，最大值为 $|\nabla f(P_0)|$。函数在 $P_0$ 沿梯度方向增加最快。
2. 当 $\theta=\pi$，即 $l$ 取梯度的反方向时，方向导数最小，最小值为 $-|\nabla f(P_0)|$，函数沿这个方向减小最快。
3. 当 $\theta=\pi/2$ 时，方向导数为 $0$。与梯度垂直的方向上，函数值的一阶变化为零。

> [!TIP]
> 求“沿哪个方向增加最快”时不必逐个方向代公式：$\nabla f(P_0)$ 本身就是最快上升的方向，方向导数的最大值则是它的模。注意梯度是向量，最大方向导数是一个数。

### 等值线与等值面

二元函数 $z=f(x,y)$ 的方程

$$
f(x,y)=C\qquad(C\text{ 为常数})
$$

在 $xy$ 平面上确定的曲线称为 $f$ 的**等值线**，等值线上各点的函数值都等于 $C$。若 $f$ 可微且 $\nabla f(x,y)\ne\mathbf 0$，则 $\nabla f(x,y)$ 是等值线在点 $(x,y)$ 处的法向量，并且指向函数值增大的方向。

之所以是法向量：沿等值线的切线方向，函数值不变，方向导数为零；而方向导数是梯度与单位切向量的内积，所以梯度与切线垂直。

三元函数 $u=f(x,y,z)$ 的方程 $f(x,y,z)=C$ 表示空间中的一张曲面，称为**等值面**，等值面上各点的函数值相同。同样地，$\nabla f(x,y,z)$ 是等值面在该点的法向量。

> [!NOTE]
> 等值线（等值面）的法向量有两个方向。梯度的方向是其中指向函数值增大的那一侧，回答“法向量”时要说明取的是哪一个。

## 例子

**梯度与等值线：$f(x,y)=x^2+y^2$**

在点 $(1,1)$ 处 $\nabla f=(2x,2y)=(2,2)$。这个函数的等值线是圆 $x^2+y^2=C$，在 $(1,1)$ 处的切线垂直于半径 $(1,1)$，所以 $(2,2)$ 正是等值线的法向量，指向 $f$ 增大（半径变大）的一侧。

沿单位方向 $\dfrac{1}{\sqrt2}(1,1)$，方向导数最大，值为 $|\nabla f(1,1)|=2\sqrt2$。沿单位方向 $\dfrac{1}{\sqrt2}(-1,1)$，

$$
\frac{2}{\sqrt2}\cdot(-1)+\frac{2}{\sqrt2}\cdot1=0,
$$

这个方向正是等值线在 $(1,1)$ 处的切线方向。

## 探索

交互演示：沿哪个方向，上升得最快？。旋转单位方向，在等值线上观察方向导数与梯度的关系。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $f$ 在点 $P_0$ 可微且 $\nabla f(P_0)\ne\mathbf 0$。下列叙述正确的是：

   * A.  沿梯度方向的方向导数最大
   * B.  方向导数的最大值等于 $|\nabla f(P_0)|$
   * C.  梯度方向与过 $P_0$ 的等值线垂直
   * D.  若某个方向的方向导数为 $0$，则该方向就是梯度方向

   答案：A、B、C

   前三条都是内积表示 $\nabla f\cdot\mathbf e_l=|\nabla f|\cos\theta$ 的直接结论。方向导数为 $0$ 说明该方向与梯度垂直，不是梯度方向。

2. $f(x,y)=3x+4y$ 在任一点处方向导数的最大值为 \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：5

   $\nabla f=(3,4)$，$|\nabla f|=\sqrt{3^2+4^2}=5$。

3. 设 $f$ 在 $P_0$ 可微且 $\nabla f(P_0)=\mathbf 0$。下列结论一定成立的是：

   * A.  $f$ 在 $P_0$ 沿任何方向的方向导数都为 $0$
   * B.  $f$ 在 $P_0$ 取得极值
   * C.  $f$ 在 $P_0$ 的某个邻域内为常数

   答案：A

   方向导数等于 $\nabla f(P_0)$ 与单位方向的内积，梯度为零向量时对任何方向都是 $0$。梯度为零只是极值的必要条件：$f(x,y)=x^2-y^2$ 在原点梯度为零却不取极值，所以B不成立。梯度只在一个点为零也不能推出邻域内为常数，所以C不成立。