# 隐函数的求导公式

## 定义

若方程 $F(x,y)=0$ 在选定点 $(x_0,y_0)$ 附近确定一个函数 $y=f(x)$，使得 $f(x_0)=y_0$，且邻域内恒有 $F(x,f(x))=0$，就称这个函数为由该方程确定的**局部隐函数**。定义描述函数与方程的关系，不要求先把 $y$ 显式解出来。

一个方程可能有多个分支，因此必须说明研究的是哪个点附近的分支。类似地，$F(x,y,z)=0$ 可以局部确定 $z=f(x,y)$；一组方程也可以同时确定多个未知函数。下方的定理给出局部存在、唯一及可微的一组充分条件。

## 存在条件与求导公式

### 一个方程与一个自变量

设方程 $F(x,y)=0$ 满足：

1. 函数 $F$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个邻域内具有连续偏导数；
2. $F(x_0,y_0)=0$；
3. $F_y(x_0,y_0)\ne 0$。

则方程 $F(x,y)=0$ 在 $x_0$ 的某个邻域内唯一确定一个具有连续导数的函数 $y=f(x)$，它在 $x_0$ 处取值 $y_0$，且

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} .
$$

本页用 $F_x$、$F_y$、$F_z$ 表示 $F$ 对相应变量的偏导数。求某一点处的导数时，公式右端取该点的偏导数值。这个结论称为**隐函数存在定理**。

三个条件各自排除一种失败：连续偏导数让 $F$ 可以在 $P_0$ 附近线性化；$F(x_0,y_0)=0$ 保证 $P_0$ 确实在曲线上；$F_y(x_0,y_0)\ne 0$ 保证方程能对 $y$ 解出，局部曲线的切线不竖直。第三条一旦不成立，公式的分母为零，结论本身也可能不再成立。

### 一个方程与两个自变量

设方程 $F(x,y,z)=0$ 满足：

1. 函数 $F$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某个邻域内具有连续偏导数；
2. $F(x_0,y_0,z_0)=0$；
3. $F_z(x_0,y_0,z_0)\ne 0$。

则方程 $F(x,y,z)=0$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内唯一确定一个具有连续偏导数的函数 $z=f(x,y)$，它在 $(x_0,y_0)$ 处取值 $z_0$，且

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},
\qquad
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}.
$$

与一元情形相比，$x$ 与 $y$ 都是自变量，因此要分别固定其中一个、对另一个求偏导；分母始终是对**被解出的变量** $z$ 的偏导数。

### 方程组情形

设方程组

$$
\begin{cases}
F(x,y,u,v)=0,\\
G(x,y,u,v)=0
\end{cases}
$$

满足：

1. $F$、$G$ 在点 $P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 的某个邻域内对各变量具有连续偏导数；
2. 在 $P_0$ 处两式同时成立；
3. 偏导数组成的雅可比行列式在 $P_0$ 处不为零，即

$$
J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}
=\begin{vmatrix}
F_u & F_v\\
G_u & G_v
\end{vmatrix}\ne 0 .
$$

则方程组在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 $u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$，它们在 $(x_0,y_0)$ 处取值 $u_0$、$v_0$。

求 $\dfrac{\partial u}{\partial x}$、$\dfrac{\partial v}{\partial x}$ 时，固定 $y$，把 $u$、$v$ 看成 $x$ 的函数，对两个方程分别关于 $x$ 求偏导：

$$
\begin{cases}
F_x+F_u\dfrac{\partial u}{\partial x}+F_v\dfrac{\partial v}{\partial x}=0,\\[6pt]
G_x+G_u\dfrac{\partial u}{\partial x}+G_v\dfrac{\partial v}{\partial x}=0 .
\end{cases}
$$

这是关于 $\dfrac{\partial u}{\partial x}$、$\dfrac{\partial v}{\partial x}$ 的线性方程组，系数行列式正是 $J$。由 $J\ne 0$ 可用克莱姆法则解出

$$
\frac{\partial u}{\partial x}
=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}
=-\frac{1}{J}
\begin{vmatrix}
F_x & F_v\\
G_x & G_v
\end{vmatrix},
$$

$$
\frac{\partial v}{\partial x}
=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,x)}
=-\frac{1}{J}
\begin{vmatrix}
F_u & F_x\\
G_u & G_x
\end{vmatrix}.
$$

把 $x$ 换成 $y$，就得到对 $y$ 的偏导数：

$$
\frac{\partial u}{\partial y}
=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,v)},
\qquad
\frac{\partial v}{\partial y}
=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,y)}.
$$

记号 $\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}$ 表示把 $J$ 中对应变量所在的那一列换成 $(F_x,G_x)$，列的顺序与分母一致。以 $u_x$ 为例：分母是 $\partial(u,v)$，$u$ 所在的第一列被替换，得到 $\partial(x,v)$；$v_x$ 则替换第二列。

## 公式的推导

一元情形可以直接从 $F(x,f(x))=0$ 推出公式。

**证明**

设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内满足 $F(x,f(x))=0$。由于 $F$ 具有连续偏导数、$f$ 可导，复合函数 $F(x,f(x))$ 可导。对 $x$ 求导得

$$
F_x(x,f(x))+F_y(x,f(x))\,f'(x)=0 .
$$

在 $P_0$ 处 $F_y\ne 0$，于是

$$
f'(x_0)
=-\frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)} .
$$

两个自变量的情形来自全微分。若 $z=f(x,y)$ 由 $F(x,y,z)=0$ 确定，则恒有 $F(x,y,f(x,y))=0$，两边求全微分：

$$
F_x\,\mathrm{d}x+F_y\,\mathrm{d}y+F_z\,\mathrm{d}z=0 .
$$

另一方面 $\mathrm{d}z=z_x\,\mathrm{d}x+z_y\,\mathrm{d}y$。因为 $x$、$y$ 是自变量，$\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$ 可以任意取值，比较两边同类项的系数就得到

$$
z_x=-\frac{F_x}{F_z},\qquad z_y=-\frac{F_y}{F_z}.
$$

这里用到 $F_z\ne 0$，否则不能除以 $F_z$。全微分的定义与形式不变性见[全微分](/knowledge/maths/multivariable-calculus/total-differential/)和[多元复合函数的求导法则](/knowledge/maths/multivariable-calculus/multivariable-chain-rule/)。方程组情形只是把同样的比较系数过程写成两个方程，再用克莱姆法则求解。

> [!NOTE]
> 三种情形的条件可以统一看成“雅可比矩阵可逆”：一元时它是 $F_y$，二元时是 $F_z$，方程组时是 $2\times 2$ 的雅可比行列式。可逆意味着可以就这些变量局部解出隐函数。

> [!TIP]
> 若 $F_x(P_0)\ne 0$、$F_y(P_0)=0$，结论改为在 $P_0$ 附近确定 $x=g(y)$，公式相应变成 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=-\dfrac{F_y}{F_x}$。哪一个偏导数非零，就把哪一个变量解出来。

## 例子

**圆 $x^2+y^2=1$ 在 $(0,1)$ 附近**

取 $F(x,y)=x^2+y^2-1$。在点 $(0,1)$ 处

$$
F_x=2x=0,\qquad F_y=2y=2\ne 0,
$$

满足定理条件，所以方程在该点附近确定 $y=f(x)$，且

$$
y'=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{x}{y},
$$

在 $(0,1)$ 处 $y'=0$，切线水平。这与把 $y$ 看作 $x$ 的函数、两边直接求导得到的结果一致，具体计算见[隐函数求导](/knowledge/maths/derivatives/implicit-differentiation/)。

**由 $x^2+y^2+z^2-4z=0$ 求 $\partial z/\partial x$**

取 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-4z$，则

$$
F_x=2x,\qquad F_y=2y,\qquad F_z=2z-4 .
$$

在 $F_z\ne 0$（即 $z\ne 2$）的点附近可以解出 $z=f(x,y)$，且

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x}{2z-4}=\frac{x}{2-z},
\qquad
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{2-z}.
$$

在点 $(0,0,0)$ 处 $F_z=-4\ne 0$，两个偏导数都等于 $0$。方程可以改写成

$$
x^2+y^2+(z-2)^2=4,
$$

即球心在 $(0,0,2)$、半径为 $2$ 的球面，这解释了为什么 $z=2$ 处 $F_z=0$：那里是球面的赤道，切平面竖直，不能把 $z$ 写成 $x,y$ 的单值函数。

> [!WARNING]
> 条件 $F_z\ne 0$ 是这一定理的充分条件，不是所有隐函数存在或可微的必要条件。条件不成立时，不能直接使用该定理或除以该偏导数，但结论未必失败。例如 $F(x,y)=y^3-x^3$ 在 $(0,0)$ 处有 $F_y=0$，方程仍唯一确定光滑函数 $y=x$；此时比值公式在原点给出 $0/0$，应从函数本身求导。

**方程组 $u+v=x$，$u-v=y$**

取 $F=u+v-x$、$G=u-v-y$，考察点 $(x,y)=(1,1)$，此时 $u=1$、$v=0$。雅可比行列式为

$$
J=\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-2\ne 0,
$$

满足定理条件。方程组还能显式解出 $u=\dfrac{x+y}{2}$、$v=\dfrac{x-y}{2}$，先得到 $u_x=v_x=\dfrac12$，再用公式核对。由 $F_x=-1$、$G_x=0$，

$$
\frac{\partial u}{\partial x}
=-\frac{1}{-2}
\begin{vmatrix}-1&1\\0&-1\end{vmatrix}
=\frac12,
\qquad
\frac{\partial v}{\partial x}
=-\frac{1}{-2}
\begin{vmatrix}1&-1\\1&0\end{vmatrix}
=\frac12,
$$

与显式结果一致。

## 探索

交互演示：隐式曲面能否在局部解出z？。在球面的上半部分检查隐函数条件与偏导数。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $y=y(x)$ 由方程 $x^2y+y^3-2=0$ 在点 $(1,1)$ 附近确定，则 $y'(1)=$ \_\_\_\_\_\_（slope）。

   答案：-0.5

   $F(x,y)=x^2y+y^3-2$，有 $F_x=2xy=2$、$F_y=x^2+3y^2=4$，所以 $y'=-F_x/F_y=-\dfrac12$。

2. 要用公式 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_z}$ 由 $F(x,y,z)=0$ 求 $z=f(x,y)$ 的偏导数，在所求点处必须成立的条件是：

   * A.  $F_x\ne 0$
   * B.  $F_z\ne 0$
   * C.  $F_y\ne 0$
   * D.  $F_x=F_y=F_z=0$

   答案：B

   要直接使用给定的比值公式，分母 $F_z$ 必须非零；这也是所述存在定理的一项充分条件。它不是所有隐函数存在的必要条件。$F_x$ 与 $F_y$ 可以为零。

3. 设 $u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$ 由 $u+v=xy$、$u-v=0$ 确定，在 $(x,y)=(1,1)$ 处 $\dfrac{\partial u}{\partial x}=$ \_\_\_\_\_\_（ux）。

   答案：0.5

   取 $F=u+v-xy$、$G=u-v$，则 $J=\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-2$，且 $F_x=-y=-1$、$G_x=0$。于是

   $$
   \frac{\partial u}{\partial x}
   =-\frac{1}{-2}
   \begin{vmatrix}-1&1\\0&-1\end{vmatrix}
   =\frac12.
   $$

   也可由 $u=\dfrac{xy}{2}$ 直接求导核对。