# 多元复合函数的求导法则

## 变量关系与链式法则

多元复合函数的求导依赖中间变量与自变量之间的依赖结构。把 $z$ 写在最上层，中间变量写在中间，自变量写在最下层，就得到一张**变量关系图**。从 $z$ 到某个自变量的每一条路径都贡献一项：路径上各段偏导数相乘，同一个自变量的各条路径相加。

本页假设外层函数在相应点可微，内层函数在相应点可导或具有偏导数。记号约定：$\dfrac{\partial z}{\partial u}=f_u$ 表示固定 $f$ 的其他自变量、对 $u$ 求偏导；$\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$ 表示一元复合函数对 $t$ 的普通导数。

> [!TIP]
> 写公式前先画变量关系图，并在图上标出每条路径。检查时对每个自变量数一数：从 $z$ 到它有几条路径，公式里就应该有几项；混合复合还要加上显式项。

## 求导定理

### 一元函数与多元函数复合

设 $u=u(t)$、$v=v(t)$ 都在点 $t$ 可导，$z=f(u,v)$ 在对应点 $(u(t),v(t))$ 处可微，则复合函数 $z=f[u(t),v(t)]$ 在点 $t$ 可导，且

$$
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}
=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}
+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}.
$$

这里 $z$ 最终只依赖一个自变量 $t$，所以左边用全导数记号 $\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$，而不是偏导数。

### 多元函数与多元函数复合

设 $u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$ 都在点 $(x,y)$ 处具有对 $x$、$y$ 的偏导数，$z=f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 处可微，则复合函数 $z=f[u(x,y),v(x,y)]$ 在点 $(x,y)$ 处对 $x$、$y$ 的偏导数存在，且

$$
\frac{\partial z}{\partial x}
=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}
+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},
$$

$$
\frac{\partial z}{\partial y}
=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}
+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.
$$

从 $z$ 到 $x$ 有两条路径，即 $z\to u\to x$ 与 $z\to v\to x$，两条路径的乘积相加就是第一式；对 $y$ 同理。

### 混合复合

若 $z=f(u,v,x)$，其中 $u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$，则 $x$ 既是中间变量的自变量，又直接出现在 $f$ 的自变量中。此时

$$
\frac{\partial z}{\partial x}
=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}
+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}
+\frac{\partial f}{\partial x}.
$$

最后一项 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 是把 $u$、$v$ 固定，只对 $f$ 的显式自变量 $x$ 求导的结果；前两项来自 $x$ 通过 $u$、$v$ 产生的间接影响。对 $y$ 的偏导数没有显式项，仍按两条路径相加。

> [!WARNING]
> 同一个 $x$ 在 $z=f(u,v,x)$ 里出现两次：一次是 $f$ 的显式自变量，一次通过 $u$、$v$ 间接出现。本页用 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 记显式项，用 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 记复合后的总偏导数。其他资料可能把 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 定义为总偏导数，阅读时要先确认符号所指。

## 证明

先证第一种情形，后两种按同样的方法处理。

记 $u_0=u(t)$、$v_0=v(t)$，$\Delta u=u(t+\Delta t)-u(t)$，$\Delta v=v(t+\Delta t)-v(t)$，$\rho=\sqrt{(\Delta u)^2+(\Delta v)^2}$。

因为 $f$ 在 $(u_0,v_0)$ 处可微，

$$
\Delta z=f_u(u_0,v_0)\Delta u+f_v(u_0,v_0)\Delta v+o(\rho)
\qquad(\rho\to0).
$$

两边除以 $\Delta t\ne0$：

$$
\frac{\Delta z}{\Delta t}
=f_u\frac{\Delta u}{\Delta t}+f_v\frac{\Delta v}{\Delta t}
+\frac{o(\rho)}{\Delta t}.
$$

$u$、$v$ 在 $t$ 处可导，因此也在 $t$ 处连续，$\Delta t\to0$ 时 $\Delta u\to0$、$\Delta v\to0$，从而 $\rho\to0$。又

$$
\frac{\rho}{|\Delta t|}
=\sqrt{\left(\frac{\Delta u}{\Delta t}\right)^2
+\left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right)^2}
$$

有界，因为两个差商分别趋于 $u'(t)$ 与 $v'(t)$；而 $\dfrac{o(\rho)}{\rho}\to0$，所以

$$
\frac{o(\rho)}{\Delta t}
=\frac{o(\rho)}{\rho}\cdot\frac{\rho}{\Delta t}\to0 .
$$

于是 $\dfrac{\Delta z}{\Delta t}$ 的极限存在，且

$$
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}
=f_u(u_0,v_0)\,u'(t)+f_v(u_0,v_0)\,v'(t).
$$

对第二种情形，把 $y$ 看作常数，$u$、$v$ 就成为 $x$ 的一元函数，套用上面的结论即得 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 的公式；对 $y$ 同理。

对第三种情形，固定 $y$，把 $x$ 看作唯一变量。由 $f$ 可微，

$$
\Delta z=f_u\Delta u+f_v\Delta v+f_x\Delta x+o(\rho),
\qquad
\rho=\sqrt{(\Delta u)^2+(\Delta v)^2+(\Delta x)^2}.
$$

除以 $\Delta x$ 后，$\dfrac{o(\rho)}{\Delta x}\to0$ 的理由同上：此时 $\dfrac{\rho}{|\Delta x|}$ 仍有界。于是得到含三项的公式。

::\:

## 性质

### 全导数

当复合函数的最终自变量只有一个时，因变量对这个自变量的导数称为**全导数**。上面的第一种情形给出的就是全导数：

$$
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}
=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}
+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}.
$$

它表示 $t$ 变化时，通过所有中间路径传到 $z$ 的总变化率。偏导数只让一个自变量变化，全导数则允许所有中间变量随 $t$ 一起变化。

> [!NOTE]
> 全导数与全微分是两个概念。全导数是一个数，表示变化率；全微分是增量的线性主部，见[全微分](/knowledge/maths/multivariable-calculus/total-differential/)。

### 全微分形式不变性

设 $z=f(u,v)$ 可微。

1. 若 $u$、$v$ 是独立自变量，则
   $$
   \mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v .
   $$
2. 若 $u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$ 是可微的中间变量，则把 $\mathrm{d}u$、$\mathrm{d}v$ 按全微分展开后，仍有
   $$
   \mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v .
   $$

第二种情形的验证：由链式法则，

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=f_u u_x+f_v v_x,\qquad
\frac{\partial z}{\partial y}=f_u u_y+f_v v_y ,
$$

于是

$$
\mathrm{d}z
=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y
=f_u(u_x\mathrm{d}x+u_y\mathrm{d}y)+f_v(v_x\mathrm{d}x+v_y\mathrm{d}y)
=f_u\,\mathrm{d}u+f_v\,\mathrm{d}v .
$$

所以无论 $u$、$v$ 是自变量还是中间变量，$z=f(u,v)$ 的全微分都写成同一个形式，这就是**全微分形式不变性**。第二种情形中的 $\mathrm{d}u$、$\mathrm{d}v$ 是中间变量的微分，不再是自变量的增量。

> [!TIP]
> 形式不变性把换元与求微分分开：先按 $u$、$v$ 写出 $\mathrm{d}z$，再把 $\mathrm{d}u$、$\mathrm{d}v$ 展开成 $\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$ 的组合。求隐函数的导数和高阶全微分时常用这种写法，但前提仍是 $f$ 可微。

## 例子

**$z=u^2v$，$u=\sin t$，$v=\cos t$**

这是最终自变量只有一个的情形：

$$
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}
=2uv\cdot\cos t+u^2\cdot(-\sin t)
=2\sin t\cos^2 t-\sin^3 t .
$$

两条路径 $z\to u\to t$ 与 $z\to v\to t$ 分别贡献一项，不能只对 $u$ 求导。

**$z=u^2+v^2$，$u=x+y$，$v=x-y$**

对 $x$ 有两条路径：

$$
\frac{\partial z}{\partial x}
=2u\cdot1+2v\cdot1
=2(x+y)+2(x-y)=4x .
$$

对 $y$ 时，$u_y=1$，而 $v_y=-1$：

$$
\frac{\partial z}{\partial y}
=2u\cdot1+2v\cdot(-1)
=2(x+y)-2(x-y)=4y .
$$

直接代入 $z=2x^2+2y^2$ 求偏导，结果相同。

**混合复合：$z=uv+x^2$，$u=x+y$，$v=xy$**

$x$ 既通过 $u$、$v$ 出现，又作为 $f$ 的显式自变量出现：

$$
\frac{\partial z}{\partial x}
=v\cdot1+u\cdot y+2x
=xy+y(x+y)+2x
=2xy+y^2+2x .
$$

对 $y$ 没有显式项：

$$
\frac{\partial z}{\partial y}
=v\cdot1+u\cdot x
=xy+x(x+y)=x^2+2xy .
$$

把 $z=(x+y)xy+x^2=x^2y+xy^2+x^2$ 直接求偏导，可以核对这两个结果。

**用形式不变性求 $z=e^u\sin v$ 的全微分，$u=x+y$，$v=x-y$**

先按 $u$、$v$ 写出

$$
\mathrm{d}z=e^u\sin v\,\mathrm{d}u+e^u\cos v\,\mathrm{d}v .
$$

再代入 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x+\mathrm{d}y$、$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d}z
&=e^u\sin v\,(\mathrm{d}x+\mathrm{d}y)
+e^u\cos v\,(\mathrm{d}x-\mathrm{d}y)\\
&=e^{x+y}\bigl(\sin(x-y)+\cos(x-y)\bigr)\mathrm{d}x
+e^{x+y}\bigl(\sin(x-y)-\cos(x-y)\bigr)\mathrm{d}y .
\end{aligned}
$$

$\mathrm{d}x$ 与 $\mathrm{d}y$ 的系数就是 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$。若直接对复合后的函数求偏导，结果一致。

## 探索

交互演示：多条中间变量路径如何共同影响导数？。比较复合函数的两条变化路径。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $z=u^2v$，$u=\cos t$，$v=\sin t$，则 $\left.\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0}=$ \_\_\_\_\_\_（dzdt）。

   答案：1

   $\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=2uv(-\sin t)+u^2\cos t$。$t=0$ 时 $u=1$、$v=0$、$\sin0=0$、$\cos0=1$，所以结果为 $1$。

2. $z=u^2+v^2$，$u=x+y$，$v=x-y$，则 $\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)}=$ \_\_\_\_\_\_（dzdx）。

   答案：4

   $\dfrac{\partial z}{\partial x}=2u+2v=4x$。代入 $x=1$ 得 $4$；也可由 $z=2x^2+2y^2$ 直接求偏导核对。

3. 设 $z=f(u,v,x)$，$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$，则 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 等于

   * A.  $\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}$
   * B.  $\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial x}$
   * C.  $\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial y}$
   * D.  只用 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$

   答案：B

   两条间接路径各一项，再加上 $x$ 作为显式自变量的直接项。漏掉最后一项是最常见的错误。

4. 关于全微分形式不变性，正确的说法是

   * A.  只有 $u$、$v$ 是自变量时才成立
   * B.  只要 $f$ 可微，无论 $u$、$v$ 是自变量还是中间变量，$\mathrm{d}z$ 都写成 $f_u\,\mathrm{d}u+f_v\,\mathrm{d}v$
   * C.  形式不变性说明 $\mathrm{d}z$ 与 $\mathrm{d}u$、$\mathrm{d}v$ 无关
   * D.  形式不变性不需要 $f$ 可微

   答案：B

   两种情形下 $\mathrm{d}z$ 的表达式形式相同，但中间变量情形下的 $\mathrm{d}u$、$\mathrm{d}v$ 本身也要按链式法则展开；这个性质仍以 $f$ 可微为前提。