# 多元函数的连续性

## 定义

设 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。若

$$
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0),
$$

则称 $f$ 在 $P_0$ 处**连续**。这个等式同时要求：$f(P_0)$ 有定义、二重极限存在、极限值等于函数值。

若 $f$ 在包含点集 $D$ 的开集上有定义，并在 $D$ 中每一点连续，则称 $f$ 在 $D$ 上连续。

## 性质

### 初等函数的连续性

一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的。因此求这类函数的二重极限时，若极限点位于定义区域内，可以直接代入。

### 有界闭区域上的连续函数

在有界闭区域上连续的多元函数必定有最大值和最小值，并且在该区域上有界。

## 探索

交互演示：点接近时函数值怎样变化？。观察平方和函数在 (1, 1) 附近的值。 请在站点操作演示。