# 多元函数的局部极值

## 定义

设 $f$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义。若对该邻域内异于 $P_0$ 的任一点 $P(x,y)$，都有

$$
f(x,y)\le f(x_0,y_0),
$$

则称 $f$ 在 $P_0$ 处取得**极大值** $f(x_0,y_0)$，$P_0$ 称为**极大值点**。若都有

$$
f(x,y)\ge f(x_0,y_0),
$$

则称 $f$ 在 $P_0$ 处取得**极小值** $f(x_0,y_0)$，$P_0$ 称为**极小值点**。极大值与极小值统称**极值**，极大值点与极小值点统称**极值点**。

若邻域内其他点均满足严格不等式，则分别称为严格极大值或严格极小值。极值是一个函数值，极值点是一个点，两个词不能混用。

## 性质

### 必要条件与驻点

设 $f$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 处具有偏导数，并在该点取得极值，则

$$
f_x(x_0,y_0)=0,\qquad f_y(x_0,y_0)=0 .
$$

一阶偏导数同时为零的点称为 $f$ 的**驻点**。偏导数存在时，驻点就是梯度为零向量的点，梯度的定义见[梯度](/knowledge/maths/multivariable-calculus/gradient/)。

**证明**

只对 $x$ 论证。固定 $y=y_0$，令 $g(x)=f(x,y_0)$。$g$ 在 $x_0$ 处可导，且由 $f$ 在 $P_0$ 取得极值可知 $x_0$ 是 $g$ 的极值点。由一元函数的费马引理（见[费马引理](/knowledge/maths/derivatives/fermat-extremum/)），$g'(x_0)=0$，即

$$
f_x(x_0,y_0)=0 .
$$

对 $y$ 的偏导数同理。

> [!WARNING]
> 驻点只是极值的必要条件。$f(x,y)=x^2-y^2$ 在原点两个偏导数都为零，但沿 $x$ 轴 $f>0$、沿 $y$ 轴 $f<0$，原点不是极值点，这类点称为鞍点。反过来，极值点也可能不是驻点：$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ 在原点取得极小值，但两个偏导数都不存在。

### 充分条件

设 $f$ 在驻点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内具有连续的二阶偏导数，记

$$
A=f_{xx}(x_0,y_0),\qquad
B=f_{xy}(x_0,y_0),\qquad
C=f_{yy}(x_0,y_0),
$$

$$
\Delta=AC-B^2 .
$$

则：

1. 当 $\Delta>0$ 时，$f$ 在 $P_0$ 取得极值；其中 $A<0$ 时取极大值，$A>0$ 时取极小值。
2. 当 $\Delta<0$ 时，$f$ 在 $P_0$ 不取得极值。
3. 当 $\Delta=0$ 时，本定理无法判定，需要另行讨论。

**证明**

把 $P_0$ 处的函数值增量按二阶泰勒公式展开（见[泰勒公式](/knowledge/maths/derivatives/taylor-formula/)）。$P_0$ 是驻点，一阶项为零，所以

$$
\Delta z=f(P_0+\Delta P)-f(P_0)
=\frac12\left(A\Delta x^2+2B\Delta x\Delta y+C\Delta y^2\right)
+o(\rho^2),
$$

其中 $\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$。令 $\Delta x=\rho\cos\theta$、$\Delta y=\rho\sin\theta$，则

$$
\Delta z=\frac{\rho^2}{2}\,g(\theta)+o(\rho^2),\qquad
g(\theta)=A\cos^2\theta+2B\cos\theta\sin\theta+C\sin^2\theta .
$$

二次型 $Q(h,k)=Ah^2+2Bhk+Ck^2$ 的矩阵行列式为 $AC-B^2=\Delta$。

* 当 $\Delta>0$、$A>0$ 时，$Q$ 正定，$g(\theta)$ 在单位圆上有正的下界，于是 $\rho$ 充分小时 $\Delta z>0$，$P_0$ 是极小值点。
* 当 $\Delta>0$、$A<0$ 时，$Q$ 负定，同理 $\Delta z<0$，$P_0$ 是极大值点。
* 当 $\Delta<0$ 时，$Q$ 不定，存在方向使 $g(\theta)>0$，也存在方向使 $g(\theta)<0$。在 $P_0$ 的任意小邻域内，函数值既有大于 $f(P_0)$ 的，也有小于 $f(P_0)$ 的，所以 $P_0$ 不是极值点。

$\Delta=0$ 时 $g(\theta)$ 可能非负、非正或恒为零，符号由 $o(\rho^2)$ 决定，因此这个定理不能判定。

> [!NOTE]
> 判别式也可以写成 $B^2-AC$，此时结论中的不等号方向相反。本页统一使用 $\Delta=AC-B^2$，使用公式前先确认符号约定。

## 例子

**用充分条件判断：$f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5$**

令

$$
f_x=2x-2=0,\qquad f_y=2y-4=0,
$$

得唯一驻点 $(1,2)$。二阶偏导数为 $f_{xx}=2$、$f_{xy}=0$、$f_{yy}=2$，所以

$$
A=2,\qquad B=0,\qquad C=2,\qquad \Delta=AC-B^2=4>0 .
$$

$\Delta>0$ 且 $A>0$，函数在 $(1,2)$ 取得极小值

$$
f(1,2)=1+4-2-8+5=0 .
$$

**鞍点：$f(x,y)=x^2-y^2$ 在原点**

$f_x=2x$、$f_y=-2y$，驻点为 $(0,0)$。$A=2$、$B=0$、$C=-2$，$\Delta=-4<0$，所以原点不是极值点。沿 $x$ 轴 $f=x^2>0$，沿 $y$ 轴 $f=-y^2<0$，原点附近两个方向的函数值分别大于和小于 $f(0,0)=0$，曲面在原点呈马鞍形。

**$\Delta=0$ 时需另行讨论：$f(x,y)=x^4+y^4$**

$f_x=4x^3$、$f_y=4y^3$，驻点为 $(0,0)$。$f_{xx}=12x^2$、$f_{xy}=0$、$f_{yy}=12y^2$，在原点 $A=B=C=0$，$\Delta=0$，充分条件失效。但

$$
f(x,y)=x^4+y^4\ge 0=f(0,0),
$$

等号只在原点成立，所以原点确实是极小值点。这说明 $\Delta=0$ 时定理失效，但仍可能取极值，必须回到定义或改用其他方法。

## 探索

交互演示：驻点为什么也可能是鞍点？。沿不同方向比较三个二次函数。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x$ 的驻点坐标为 $x=$ \_\_\_\_\_\_（x），$y=$ \_\_\_\_\_\_（y）。

   答案：x: 2

   答案：y: -1

   令 $f_x=2x+y-3=0$、$f_y=x+2y=0$。由第二式得 $x=-2y$，代入第一式得 $-4y+y-3=0$，即 $y=-1$，从而 $x=2$。

2. $f(x,y)=x^2-y^2$ 在原点处：

   * A.  取得极大值
   * B.  取得极小值
   * C.  不取得极值
   * D.  无法判断

   答案：C

   $A=2$、$B=0$、$C=-2$，$\Delta=-4<0$，由充分条件知原点不是极值点。

3. 设 $f$ 在驻点 $P_0$ 的某邻域内具有连续的二阶偏导数，且 $\Delta=AC-B^2=0$。下列结论正确的是：

   * A.  $P_0$ 一定不是极值点
   * B.  $P_0$ 一定是极值点
   * C.  充分条件失效，需要另行判断

   答案：C

   $f(x,y)=x^4+y^4$ 在原点 $\Delta=0$ 且取得极小值，$f(x,y)=x^3+y^3$ 在原点 $\Delta=0$ 且不取得极值，两种情形都可能，所以只能另行判断。