# 多元函数

## 定义

设 $D$ 是 $\mathbb R^2$ 中的一个点集。若对 $D$ 中每一点 $P(x,y)$，按某个对应规则 $f$ 都有唯一的实数 $z$ 与之对应，则称 $z$ 是自变量 $x,y$ 的**二元函数**，记作

$$
z=f(x,y),\qquad (x,y)\in D.
$$

其中 $x,y$ 是自变量，$z$ 是因变量，$D$ 是定义域，因变量的取值集合

$$
f(D)=\{f(x,y):(x,y)\in D\}
$$

是值域。自变量有 $n$ 个时，$u=f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 称为 **$n$ 元函数**。

若函数没有特别指明定义域，则定义域取使算式有意义的自变量全体，称为**自然定义域**。求自然定义域就是解一组不等式：分母不为零、偶次根号下非负、对数的真数为正，等等。

### 图形

二元函数 $z=f(x,y)$ 的图形是空间点集

$$
\{(x,y,z):(x,y)\in D,\ z=f(x,y)\},
$$

通常是一张曲面。

## 例子

**自然定义域与图形：$z=\sqrt{1-x^2-y^2}$**

根号内非负，所以

$$
1-x^2-y^2\ge 0 \iff x^2+y^2\le 1.
$$

自然定义域是单位闭圆盘。对应的图形是上半球面：$z\ge 0$，在 $x^2+y^2=1$ 处与 $z=0$ 平面相接。

## 探索

交互演示：哪些平面点属于函数的定义域？。改变输入，检查平方根下的表达式。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}+\ln(y-x)$ 的自然定义域是：

   * A.  $y>x$ 且 $x^2+y^2\le 1$
   * B.  $y\ge x$ 且 $x^2+y^2\le 1$
   * C.  $y>x$ 且 $x^2+y^2<1$
   * D.  $x^2+y^2\le 1$

   答案：A

   根号要求 $x^2+y^2\le 1$，对数要求 $y-x>0$，两个条件同时成立。