# 多元函数的极限

## 定义

设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个去心邻域内有定义。若对任意给定的 $\epsilon>0$，总存在 $\delta>0$，使得当 $P\in\mathring U(P_0,\delta)$ 时恒有

$$
|f(x,y)-A|<\epsilon,
$$

则称常数 $A$ 为 $f(x,y)$ 当 $P\to P_0$ 时的极限，也称**二重极限**，记作

$$
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A,
$$

也写作 $\lim_{P\to P_0}f(P)=A$。

定义要求 $P$ 以**任何方式**趋近 $P_0$ 时函数值都趋于同一个 $A$。平面上趋近一点的方式有无穷多种：沿直线、沿抛物线、绕着点转圈逼近，都算。因此只要找到两条路径给出不同的极限值，就能断定二重极限不存在。

1. **选一条路径**

   令 $y=kx$ 或 $y=kx^2$，代入 $f$，把二元极限化成一元极限。

2. **比较不同路径的结果**

   若结果随 $k$ 变化，或沿某条路径极限不存在，则二重极限不存在。

3. **确认结论的适用范围**

   各路径结果一致只说明暂时没有矛盾，仍需另行证明极限存在。

## 例子

**沿不同路径得到不同的值：$f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$**

在 $(0,0)$ 的去心邻域内 $f$ 有定义。沿直线 $y=kx$（$x\ne 0$）趋近：

$$
f(x,kx)=\frac{kx^2}{x^2+k^2x^2}=\frac{k}{1+k^2}.
$$

沿 $x$ 轴（$k=0$）得到 $0$，沿 $y=x$（$k=1$）得到 $1/2$。两条路径的极限不同，所以 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ 不存在。

> [!WARNING]
> 比较有限条路径可以否定极限存在，但不能单凭它们证明极限存在。即使所有直线路径都给出同一个值，也不能据此断言二重极限存在；证明存在要回到 $\epsilon$-$\delta$ 定义，或用夹逼。

## 探索

交互演示：不同路径能否给出不同极限？。沿y = mx逼近原点，比较路径上的函数值。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：0

   当 $(x,y)\ne(0,0)$ 时

   $$
   \left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le |y|,
   $$

   而 $|y|\to 0$，由夹逼得极限为 $0$。