# 偏导数

## 定义

设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。固定 $y=y_0$，让 $x$ 在 $x_0$ 处变化。若极限

$$
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}
$$

存在，则称它为 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处**对 $x$ 的偏导数**。

同样，固定 $x=x_0$，若极限

$$
\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}
$$

存在，则称它为 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处**对 $y$ 的偏导数**。

两个极限都存在时，$f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的偏导数存在。若 $f$ 在区域 $D$（连通的开集）内每一点都有对 $x$ 的偏导数，则这个对应关系构成 $D$ 上的函数，称为 $f$ 对 $x$ 的**偏导函数**，也简称偏导数。

### 记号

对 $x$ 的偏导数有以下等价写法：

$$
f_x(x_0,y_0),\qquad
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)},\qquad
\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)},\qquad
z_x.
$$

对 $y$ 的偏导数把 $x$ 换成 $y$：

$$
f_y(x_0,y_0),\qquad
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)},\qquad
\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)},\qquad
z_y.
$$

写偏导函数时省略下标中的点，记作 $f_x$、$\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 或 $z_x$。

> [!NOTE]
> 偏导数符号 $\partial$ 与一元微分符号 $\mathrm d$ 不同，它专门表示多元函数中对单个变量的变化率。$\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 是一个整体记号，不能拆成两个独立的量。

## 性质

### 求法

求 $z=f(x,y)$ 对某个变量的偏导数时，把其余变量看作常数，按一元函数的求导公式计算。

* 对 $x$ 求偏导：把 $y$ 视为常数。
* 对 $y$ 求偏导：把 $x$ 视为常数。

1. **确认对哪个变量求偏导**

   先写明“对 $x$”，后面每一步都只对这个变量用求导公式。

2. **固定其余变量**

   把另一个变量当作常数，逐项套一元求导公式。

3. **代点或整理**

   求偏导函数时整理成 $x,y$ 的表达式；求某点的偏导数时代入该点。

### 高阶偏导数

若 $f_x$ 与 $f_y$ 仍是 $x,y$ 的函数，则它们对 $x$、$y$ 的偏导数称为 $f$ 的**二阶偏导数**。二元函数共有四个二阶偏导数：

$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right),
\qquad
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right),
$$

$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right),
\qquad
\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right).
$$

$f_{xx}$ 与 $f_{yy}$ 称为**纯偏导数**，$f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 称为**混合偏导数**。写法上 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$ 表示先对 $x$ 求偏导、再对 $y$ 求偏导，与 $f_{xy}$ 的顺序一致。

### 混合偏导数相等的条件

若 $f$ 的两个二阶混合偏导数 $f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 在点 $(x,y)$ 处连续，则在该点

$$
f_{xy}=f_{yx}.
$$

只要函数足够光滑，例如初等函数在其定义区域内，求导的先后顺序就不影响结果。注意，这个结论的前提是两个混合偏导数在该点连续，条件不成立时不能默认 $f_{xy}=f_{yx}$。

### 几何意义与连续性

固定 $y=y_0$，曲面 $z=f(x,y)$ 与平面 $y=y_0$ 的交线是平面曲线 $z=f(x,y_0)$。$f_x(x_0,y_0)$ 就是这条曲线在点 $P_0(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 处的切线对 $x$ 轴的斜率。同理，$f_y(x_0,y_0)$ 是平面 $x=x_0$ 截出的曲线在 $P_0$ 处的切线对 $y$ 轴的斜率。

一元函数可导必连续，多元函数没有这条性质：即使两个偏导数都存在，也未必连续。$f_x$ 与 $f_y$ 只描述沿两条坐标方向的变化，其他方向上的行为没有被约束。下面的例子给出这种情形。

## 例子

**$z=x^2+3xy+y^2$ 的两个偏导数**

对 $x$ 求偏导时把 $y$ 看作常数：

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=2x+3y+0=2x+3y.
$$

对 $y$ 求偏导时把 $x$ 看作常数：

$$
\frac{\partial z}{\partial y}=0+3x+2y=3x+2y.
$$

> [!TIP]
> “把 $y$ 看作常数”只表示求导过程中 $y$ 不参与变化，不表示含 $y$ 的项为零。例如 $\dfrac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y$，而 $\dfrac{\partial}{\partial x}(y^2)=0$。

**$z=e^{xy}$ 的二阶偏导数**

先求一阶偏导数：

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=ye^{xy},\qquad
\frac{\partial z}{\partial y}=xe^{xy}.
$$

再求两个混合偏导数：

$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}
=\frac{\partial}{\partial y}\left(ye^{xy}\right)
=e^{xy}+xye^{xy},
$$

$$
\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}
=\frac{\partial}{\partial x}\left(xe^{xy}\right)
=e^{xy}+xye^{xy}.
$$

两者相等，与混合偏导数连续的结论一致。

> [!IMPORTANT]
> 相等的前提是两个混合偏导数在该点连续。条件不成立时不能默认 $f_{xy}=f_{yx}$。

**偏导数存在但函数不连续**

设

$$
f(x,y)=
\begin{cases}
\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}, & (x,y)\ne(0,0),\\[4pt]
0, & (x,y)=(0,0).
\end{cases}
$$

在原点用定义求偏导数：

$$
f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=0,
\qquad
f_y(0,0)=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=0.
$$

两个偏导数都存在。但沿 $y=kx^2$ 趋近时，

$$
f(x,kx^2)=\frac{kx^4}{x^4+k^2x^4}=\frac{k}{1+k^2},
$$

结果随 $k$ 变化：沿 $x$ 轴得到 $0$，沿 $y=x^2$ 得到 $1/2$。所以二重极限不存在，$f$ 在原点不连续。

> [!WARNING]
> 偏导数存在不一定连续。不能把一元的“可导必连续”直接推广到多元函数。

## 探索

交互演示：固定另一个变量后变化率是多少？。比较乘积函数的两个偏导数。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $z=x^2y+y^3$ 在点 $(1,2)$ 处对 $x$ 的偏导数是 \_\_\_\_\_\_（fx）。

   答案：4

   $\dfrac{\partial z}{\partial x}=2xy$，代入 $(1,2)$ 得 $4$。

2. 设 $z=x^3y^2+2xy$，则 $f_{xy}(1,1)=$ \_\_\_\_\_\_（fxy）。

   答案：8

   $f_x=3x^2y^2+2y$，再对 $y$ 求偏导得 $f_{xy}=6x^2y+2$，代入 $(1,1)$ 得 $8$。

3. 关于偏导数，下列叙述正确的是哪些？

   * A.  $f_x(x_0,y_0)$ 表示固定 $y=y_0$ 后对 $x$ 求导
   * B.  偏导数存在可以推出函数在该点连续
   * C.  两个混合偏导数在该点连续时，$f_{xy}=f_{yx}$
   * D.  对 $x$ 求偏导时，含 $y$ 的项都等于零

   答案：A、C

   B与D都错：偏导数存在不能推出连续；对 $x$ 求偏导时 $y$ 是常数，但含 $y$ 的项不一定为零，例如 $\dfrac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y$。