# 平面点集与邻域

## 定义

多元函数的自变量是平面上的点，定义域和极限都要在平面点集上讨论。本页用 $P(x,y)$ 表示平面上的点，两点之间的距离取欧氏距离

$$
d(P,P_0)=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.
$$

### 邻域与去心邻域

设 $P_0(x_0,y_0)$ 是平面上一点，$\delta>0$。满足

$$
d(P,P_0)<\delta
$$

的点 $P$ 的全体称为 $P_0$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(P_0,\delta)$。几何上它是 $P_0$ 为圆心、$\delta$ 为半径的圆盘内部，不含圆周。

在邻域中去掉中心点，得到的集合

$$
0<d(P,P_0)<\delta
$$

称为 $P_0$ 的**去心邻域**，记作 $\mathring U(P_0,\delta)$。

### 点与点集的关系

设 $E$ 是平面点集，$P$ 是平面上一点。

* **内点**：存在 $P$ 的某个邻域 $U(P)$，使 $U(P)\subset E$。
* **外点**：存在 $P$ 的某个邻域 $U(P)$，使 $U(P)\cap E=\varnothing$。
* **边界点**：$P$ 的任何邻域内都既有属于 $E$ 的点，又有不属于 $E$ 的点。
* **边界**：$E$ 的全部边界点构成的集合，记作 $\partial E$。
* **聚点**：对任意 $\delta>0$，去心邻域 $\mathring U(P,\delta)$ 内总含有 $E$ 中的点。

**聚点可以不属于集合**

设

$$
E=\{(x,y):0<x^2+y^2<1\}.
$$

原点 $O$ 不属于 $E$，但对任意 $\delta>0$，去心邻域 $\mathring U(O,\delta)$ 都含有 $E$ 中的点，所以 $O$ 是 $E$ 的聚点。$E$ 中的每一点也都是 $E$ 的聚点。

> [!NOTE]
> 聚点本身可以属于 $E$，也可以不属于 $E$。判断时只看去心邻域里有没有 $E$ 的点，与 $P$ 是否在 $E$ 中无关。

### 点集的分类

* **开集**：$E$ 中的点全是内点。
* **闭集**：$E$ 的补集是开集；等价地，$E$ 包含它的全部聚点。
* **连通集**：$E$ 不能分成两个非空、互不相交且在 $E$ 的相对拓扑中都开集的部分。对开集，连通等价于任意两点可用完全属于该集合的折线连接。
* **区域（开区域）**：连通的开集。
* **闭区域**：开区域 $D$ 与它的边界之并，记作 $\bar D=D\cup\partial D$。
* **有界集**：存在以原点为圆心的圆盘，能把 $E$ 整个包含在内。
* **无界集**：不是有界集的点集。

## 性质

### n维空间

设 $n$ 是正整数。全部 $n$ 元有序实数组 $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 构成的集合，连同其中定义的加法、数乘，以及两点

$$
P(x_1,\dots,x_n),\qquad Q(y_1,\dots,y_n)
$$

之间的距离

$$
d(P,Q)=\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2},
$$

构成的空间称为 **$n$ 维空间**，记作 $\mathbb R^n$。$n=2$ 时它是坐标平面，$n=3$ 时它是通常的几何空间。以下只讨论二元函数，但极限与连续性的定义可以逐字推广到 $\mathbb R^n$。

## 探索

交互演示：单位开圆盘的内点与边界在哪里？。移动点并检查它与开圆盘的关系。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $E=\{(x,y):0<x^2+y^2<1\}$ 具有哪些性质？

   * A.  开集
   * B.  有界集
   * C.  连通集
   * D.  闭集

   答案：A、B、C

   $E$ 是挖去原点的单位圆盘，点全是内点，所以是开集；它被单位圆盘包含，所以有界；任意两点可用绕开原点的折线连接，所以连通。$E$ 不含边界点，不是闭集。