# 空间曲线的切线与法平面

## 定义

过曲线上点 $P_0$ 且方向为切向量 $\mathbf T$ 的直线，称为曲线在 $P_0$ 处的**切线**；过 $P_0$ 且垂直于切线的平面，称为**法平面**。法平面的法向量就是 $\mathbf T$，所以求出切向量后，两个方程都能立刻写出。

### 参数方程情形

若曲线由

$$
\begin{cases}
x=x(t),\\
y=y(t),\\
z=z(t)
\end{cases}
$$

给出，点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 对应参数 $t_0$，则切向量为

$$
\mathbf T=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)).
$$

切线方程为

$$
\frac{x-x_0}{x'(t_0)}
=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}
=\frac{z-z_0}{z'(t_0)},
$$

法平面方程为

$$
x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0 .
$$

> [!NOTE]
> 方向数中允许出现 $0$。例如 $y'(t_0)=0$ 时，比例式应理解为 $y=y_0$，其余两项照常给出两个方程；不要把它写成除以零的算式。

### 一般方程情形

若曲线由两个曲面的交线给出：

$$
\begin{cases}
F(x,y,z)=0,\\
G(x,y,z)=0,
\end{cases}
$$

且 $F$、$G$ 在 $P_0$ 附近具有连续偏导数，则曲线在 $P_0$ 处的切向量同时垂直于两个曲面的法向量

$$
\mathbf n_F=(F_x,F_y,F_z)|_{P_0},
\qquad
\mathbf n_G=(G_x,G_y,G_z)|_{P_0}.
$$

因此可取

$$
\mathbf T=\mathbf n_F\times\mathbf n_G
=\begin{vmatrix}
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\
F_x & F_y & F_z\\
G_x & G_y & G_z
\end{vmatrix}_{P_0}.
$$

设 $\mathbf T=(T_x,T_y,T_z)$，把参数方程情形中切线方程与法平面方程里的 $x'(t_0)$、$y'(t_0)$、$z'(t_0)$ 依次换成 $T_x$、$T_y$、$T_z$，就得到一般情形的两个方程。

**证明**

设曲线在 $P_0$ 附近可以参数化为 $(x(t),y(t),z(t))$，且 $(x(t_0),y(t_0),z(t_0))=P_0$。因为曲线落在曲面 $F=0$ 上，对 $t$ 恒有

$$
F(x(t),y(t),z(t))=0 .
$$

对 $t$ 求导并令 $t=t_0$，得

$$
F_x x'(t_0)+F_y y'(t_0)+F_z z'(t_0)=0,
$$

即 $\mathbf n_F\cdot\mathbf T=0$。同理 $\mathbf n_G\cdot\mathbf T=0$，所以 $\mathbf T$ 与两个法向量都垂直，方向由叉积确定。

> [!WARNING]
> 当 $\mathbf n_F\times\mathbf n_G=\mathbf 0$（两个曲面在该点相切）时，交线在该点不一定光滑，不能取这个叉积作切向量。此时要回到曲线本身另找方向。

## 例子

**螺旋线 $\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t,t)$ 在 $t=\pi/2$ 处**

点 $P_0=(0,1,\pi/2)$，导向量为

$$
\mathbf r'(t)=(-\sin t,\cos t,1),
$$

在 $t=\pi/2$ 处 $\mathbf T=(-1,0,1)$。切线为

$$
\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{0}=\frac{z-\pi/2}{1},
$$

即 $y=1$ 且 $x+z=\pi/2$。法平面为

$$
-(x-0)+0\cdot(y-1)+\left(z-\frac{\pi}{2}\right)=0,
$$

即 $z-x=\dfrac{\pi}{2}$。

**交线 $x^2+y^2+z^2=6$ 与 $x-y+z=4$ 在点 $(1,-2,1)$ 处**

点 $(1,-2,1)$ 同时满足两个方程。两个曲面的法向量为

$$
\mathbf n_F=(2x,2y,2z)|_{(1,-2,1)}=(2,-4,2),
\qquad
\mathbf n_G=(1,-1,1),
$$

于是

$$
\mathbf T=\mathbf n_F\times\mathbf n_G
=\begin{vmatrix}
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\
2 & -4 & 2\\
1 & -1 & 1
\end{vmatrix}
=(-2,0,2).
$$

取与之平行的 $\mathbf T=(-1,0,1)$。切线为

$$
\frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{1},
$$

即 $y=-2$ 且 $x+z=2$。法平面为

$$
-(x-1)+0\cdot(y+2)+(z-1)=0,
$$

即 $z=x$。

## 探索

交互演示：曲线的切线由哪个向量确定？。查看参数曲线在不同点的切向量。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 曲线 $\mathbf r(t)=(t,t^2,t^3)$ 在 $t=1$ 处的法平面是 $x+2y+3z=$ \_\_\_\_\_\_（constant）。

   答案：6

   $\mathbf r'(t)=(1,2t,3t^2)$，在 $t=1$ 处 $\mathbf T=(1,2,3)$，对应点为 $P_0(1,1,1)$。法平面为 $(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0$，即 $x+2y+3z=6$。

2. 曲线由 $x^2+y^2+z^2=6$ 与 $x-y+z=4$ 的交线给出，它在点 $(1,-2,1)$ 处的一个切向量是：

   * A.  $(-1,0,1)$
   * B.  $(2,-4,2)$
   * C.  $(1,-1,1)$
   * D.  $(3,-5,3)$

   答案：A

   两个曲面的法向量分别是 $(2,-4,2)$ 与 $(1,-1,1)$，叉积为 $(-2,0,2)$，与 $(-1,0,1)$ 平行。B、C分别是两个曲面的法向量，不沿交线方向；D是两个法向量之和，也不是叉积。