# 曲面的切平面与法线

## 定义

过曲面上点 $P_0$ 且在该点与曲面相切的平面，称为**切平面**；过 $P_0$ 且垂直于切平面的直线，称为**法线**。切平面的法向量称为曲面在 $P_0$ 处的**法向量**。

### 隐式曲面

设曲面由 $F(x,y,z)=0$ 给出，$F$ 在 $P_0$ 附近具有连续偏导数，且

$$
\nabla F(P_0)=(F_x(P_0),F_y(P_0),F_z(P_0))\ne\mathbf 0 .
$$

则曲面在 $P_0$ 处的法向量为

$$
\mathbf n=(F_x,F_y,F_z)|_{P_0},
$$

切平面方程为

$$
F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0,
$$

法线方程为

$$
\frac{x-x_0}{F_x(P_0)}
=\frac{y-y_0}{F_y(P_0)}
=\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}.
$$

这里的 $\nabla F$ 就是 $F$ 的梯度，由三个偏导数组成。当 $\nabla F(P_0)=\mathbf 0$ 时，上述结论需要有额外的奇点分析，$P_0$ 可能是曲面上的奇点。

### 显式曲面

设曲面由 $z=f(x,y)$ 给出。令

$$
F(x,y,z)=f(x,y)-z,
$$

就把显式曲面写成了隐式方程 $F=0$。此时

$$
F_x=f_x,\qquad F_y=f_y,\qquad F_z=-1,
$$

所以法向量为

$$
\mathbf n=(f_x,f_y,-1)|_{P_0}.
$$

切平面方程为

$$
z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0),
$$

法线方程为

$$
\frac{x-x_0}{f_x}
=\frac{y-y_0}{f_y}
=\frac{z-z_0}{-1}.
$$

> [!NOTE]
> 切平面方程的右端正是全微分 $f_x\,\Delta x+f_y\,\Delta y$。把 $x-x_0$、$y-y_0$ 换成自变量的增量，切平面就是函数的一次近似，与[全微分](/knowledge/maths/multivariable-calculus/total-differential/)作为线性主部的含义一致。

## 例子

**球面 $x^2+y^2+z^2=14$ 在点 $(1,2,3)$ 处**

取 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-14$，则

$$
\mathbf n=(2x,2y,2z)|_{(1,2,3)}=(2,4,6),
$$

取与它平行的 $(1,2,3)$ 作 $\mathbf n$。切平面为

$$
1(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0,
$$

即 $x+2y+3z=14$。法线为

$$
\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}.
$$

**抛物面 $z=x^2+y^2$ 在点 $(1,1,2)$ 处**

$f_x=2x$、$f_y=2y$，在 $(1,1)$ 处都等于 $2$，所以法向量为

$$
\mathbf n=(2,2,-1).
$$

切平面为

$$
z-2=2(x-1)+2(y-1),
$$

即 $2x+2y-z=2$。法线为

$$
\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}.
$$

## 探索

交互演示：曲面的切平面怎样随切点变化？。改变抛物面的切点，查看线性近似。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 球面 $x^2+y^2+z^2=14$ 在点 $(1,2,3)$ 处的切平面是：

   * A.  $x+2y+3z=14$
   * B.  $x+2y+3z=7$
   * C.  $x+y+z=6$
   * D.  $2x+4y+6z=14$

   答案：A

   法向量为 $(2,4,6)$，取与它平行的 $(1,2,3)$ 作 $\mathbf n$，切平面为 $(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0$，即 $x+2y+3z=14$。B与D表示同一个平面 $x+2y+3z=7$，都不过点 $(1,2,3)$。

2. 曲面 $z=x^2+y^2$ 在点 $(1,1,2)$ 处的切平面是：

   * A.  $2x+2y-z=2$
   * B.  $2x+2y+z=2$
   * C.  $2x-2y-z=2$
   * D.  $x+y-z=0$

   答案：A

   令 $F=x^2+y^2-z$，法向量为 $(2,2,-1)$，切平面为 $2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0$，化简得 $2x+2y-z=2$。