# 全微分

## 定义

### 记号与偏增量

设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。本页用 $\Delta x$、$\Delta y$ 表示自变量的增量，并记

$$
\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},
$$

即点 $(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$ 到 $(x_0,y_0)$ 的距离。$f$ 对 $x$ 的偏导数记作

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=f_x(x,y)
=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x},
$$

求这个极限时 $y$ 固定不变；$\dfrac{\partial z}{\partial y}=f_y(x,y)$ 类似，求值时 $x$ 固定不变。

只让一个自变量变化，得到的函数值改变量称为**偏增量**：

$$
\Delta_x z=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0),\qquad
\Delta_y z=f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0).
$$

当偏导数存在时，偏增量的线性主部称为**偏微分**：

$$
\mathrm{d}_x z=f_x(x_0,y_0)\,\Delta x,\qquad
\mathrm{d}_y z=f_y(x_0,y_0)\,\Delta y.
$$

其中 $\mathrm{d}_x z$ 只计入 $x$ 方向的变化，$\mathrm{d}_y z$ 只计入 $y$ 方向的变化。

### 全微分

两个自变量同时产生增量 $\Delta x$、$\Delta y$ 时，函数值的总改变量称为**全增量**：

$$
\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0).
$$

若存在与 $\Delta x$、$\Delta y$ 无关的常数 $A$、$B$，使得

$$
\Delta z=A\,\Delta x+B\,\Delta y+o(\rho)\qquad(\rho\to 0),
$$

则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处**可微**，并把线性部分

$$
\mathrm{d}z=A\,\Delta x+B\,\Delta y
$$

称为 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的**全微分**。$o(\rho)$ 表示比 $\rho$ 高阶的无穷小，所以 $\mathrm{d}z$ 是全增量的线性主部：$\rho$ 足够小时，$\Delta z\approx\mathrm{d}z$。

与一元情形一样，规定自变量的微分就是它的增量，即 $\mathrm{d}x=\Delta x$、$\mathrm{d}y=\Delta y$。由下文可微的必要条件，可微时 $A=f_x(x_0,y_0)$、$B=f_y(x_0,y_0)$，因此全微分通常写成

$$
\mathrm{d}z
=\frac{\partial z}{\partial x}\,\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\,\mathrm{d}y
=f_x\,\mathrm{d}x+f_y\,\mathrm{d}y .
$$

> [!NOTE]
> 全微分给出 $\rho\to0$ 时全增量的线性近似，一般不与全增量完全相等。$\mathrm{d}z$ 同时依赖所在点和增量 $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ 两组量，同一个函数在不同点的全微分不同。

## 性质

### 计算步骤

1. **求两个偏导数**

   分别固定另一个自变量，求出 $f_x(x_0,y_0)$ 与 $f_y(x_0,y_0)$。

2. **写出全微分**

   代入 $\mathrm{d}z=f_x(x_0,y_0)\,\mathrm{d}x+f_y(x_0,y_0)\,\mathrm{d}y$。若题目给出具体增量，就用 $\Delta x$、$\Delta y$ 代替 $\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$。

3. **核对适用范围**

   确认两个偏导数在该点存在。若要用 $\mathrm{d}z$ 近似 $\Delta z$，还需要先确认函数在该点可微，通常就是检查两个偏导数在该点是否连续。

### 可微、连续与偏导数

### 可微的必要条件

若 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，则

1. $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续；
2. $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处存在两个偏导数，且 $A=f_x(x_0,y_0)$、$B=f_y(x_0,y_0)$。

**证明**

设 $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$。

先证连续。因为 $|\Delta x|\le\rho$、$|\Delta y|\le\rho$，所以 $\rho\to0$ 时 $\Delta x\to0$、$\Delta y\to0$，于是

$$
\lim_{\rho\to0}\Delta z
=\lim_{\rho\to0}\bigl(A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\bigr)=0,
$$

即 $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$。

再证偏导数存在。在定义中取 $\Delta y=0$，此时 $\rho=|\Delta x|$，

$$
f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+o(|\Delta x|).
$$

两边除以 $\Delta x$ 并令 $\Delta x\to0$，得 $f_x(x_0,y_0)=A$；同理取 $\Delta x=0$，得 $f_y(x_0,y_0)=B$。

这两个条件都只是可微的必要条件。连续不能保证偏导数存在，偏导数存在也不能保证连续，更不能保证可微。

### 可微的充分条件

若 $f_x$ 与 $f_y$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内存在，并且都在 $(x_0,y_0)$ 处连续，则 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微。

**证明**

把全增量拆成两步，每步只让一个自变量变化：

$$
\begin{aligned}
\Delta z
&=\bigl[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)\bigr]\\
&\quad+\bigl[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\bigr].
\end{aligned}
$$

第一个括号只让 $x$ 变化，对 $x$ 用拉格朗日中值定理：存在 $\theta_1\in(0,1)$，使

$$
f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)
=f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)\,\Delta x .
$$

第二个括号只让 $y$ 变化，同理存在 $\theta_2\in(0,1)$，使

$$
f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)
=f_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)\,\Delta y .
$$

由 $f_x$、$f_y$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，

$$
f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)+\varepsilon_1,\qquad
f_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)=f_y(x_0,y_0)+\varepsilon_2,
$$

其中 $\rho\to0$ 时 $\varepsilon_1\to0$、$\varepsilon_2\to0$。于是

$$
\Delta z=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y
+\varepsilon_1\Delta x+\varepsilon_2\Delta y .
$$

因为 $|\Delta x|\le\rho$、$|\Delta y|\le\rho$，

$$
|\varepsilon_1\Delta x+\varepsilon_2\Delta y|
\le(|\varepsilon_1|+|\varepsilon_2|)\rho=o(\rho),
$$

所以 $\Delta z=f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(\rho)$，即 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微。

> [!WARNING]
> 充分条件要求偏导数在该点的某邻域内存在，并且在该点连续。只在一点存在偏导数远远不够。满足充分条件即可断定可微；不满足时不能据此断定不可微，要回到定义，检查 $\Delta z-(f_x\Delta x+f_y\Delta y)$ 是否为 $o(\rho)$。

### 与一元函数的对比

| 关系    | 一元函数 $y=f(x)$  | 二元函数 $z=f(x,y)$ |
| :---- | :------------- | :-------------- |
| 导数与连续 | 可导必连续          | 偏导数存在不能推出连续     |
| 导数与可微 | 可导与可微等价        | 可微推出偏导数存在，反之不成立 |
| 可微与连续 | 可微必连续，连续不能推出可微 | 可微必连续，连续不能推出可微  |

一元函数中可导与可微等价，所以三个概念只有“连续”和“可导”两层。二元函数中可微最强，它同时推出连续与偏导数存在；连续与偏导数存在之间互不蕴含，两个方向都有反例。例如 $f(x,y)=|x|$ 处处连续，但 $x=0$ 处的 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 不存在；下面的例子则给出偏导数存在却不连续的函数。一元函数的微分见[微分与线性近似](/knowledge/maths/derivatives/differential/)。

### 叠加原理

可微时 $A=f_x$、$B=f_y$，全微分可以拆成两个偏微分之和：

$$
\mathrm{d}z=f_x\,\mathrm{d}x+f_y\,\mathrm{d}y
=\mathrm{d}_x z+\mathrm{d}_y z .
$$

在 $\rho$ 足够小的范围内，两个自变量同时变化引起的函数值变化，可以近似看成每个自变量单独变化所引起的线性变化之和，这就是全微分的**叠加原理**。

> [!WARNING]
> 叠加原理只对线性主部成立。全增量本身一般不等于两个偏增量之和，即 $\Delta z\ne\Delta_x z+\Delta_y z$。对可微函数，两者的差是比 $\rho$ 高阶的无穷小，因为 $\Delta_x z=f_x\Delta x+o(|\Delta x|)$、$\Delta_y z=f_y\Delta y+o(|\Delta y|)$，相加后与 $\Delta z$ 只相差 $o(\rho)$。所以一阶近似下“分别算、再相加”是合法的，但不能把它当成精确等式。

## 例子

**求 $z=x^2y+y^3$ 在 $(1,2)$ 处的全微分**

两个偏导数为

$$
f_x=2xy,\qquad f_y=x^2+3y^2 .
$$

在 $(1,2)$ 处 $f_x=4$、$f_y=13$，所以

$$
\mathrm{d}z=4\,\mathrm{d}x+13\,\mathrm{d}y .
$$

取 $\Delta x=0.01$、$\Delta y=0.02$，全微分为 $0.04+0.26=0.30$。实际全增量是

$$
f(1.01,2.02)-f(1,2)\approx10.30301-10=0.30301,
$$

与 $\mathrm{d}z$ 相差约 $0.003$。增量越小，两者越接近。

**偏导数存在但不连续：$f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$**

补充定义 $f(0,0)=0$。在原点，沿坐标轴方向函数值恒为 $0$，所以

$$
f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=0,
\qquad f_y(0,0)=0 .
$$

但沿直线 $y=x$ 趋于原点时，

$$
f(t,t)=\frac{t^2}{2t^2}=\frac12\ne0=f(0,0),
$$

所以 $f$ 在原点不连续。可见偏导数存在并不能保证连续，更不能保证可微。

**连续且偏导数存在，但仍不可微：$f(x,y)=\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$**

补充定义 $f(0,0)=0$。由

$$
|f(x,y)|=\frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}
\le\frac{\rho^2/2}{\rho}=\frac{\rho}{2},
$$

得 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$，所以 $f$ 在原点连续。沿坐标轴方向函数值为 $0$，故 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$。

若可微，$A=B=0$，必须有 $\Delta z=o(\rho)$。但在原点

$$
\Delta z=\frac{\Delta x\,\Delta y}{\rho},
$$

取 $\Delta x=\Delta y=t$，则 $\Delta z=\dfrac{t^2}{\sqrt{2}\,|t|}=\dfrac{|t|}{\sqrt2}$，与 $\rho=\sqrt2\,|t|$ 同阶。$\Delta z$ 不是 $o(\rho)$，所以 $f$ 在原点不可微。

**全增量与偏增量之和：$z=xy$**

此时

$$
\Delta z=y\Delta x+x\Delta y+\Delta x\Delta y,
$$

而两个偏增量之和为

$$
\Delta_x z+\Delta_y z=y\Delta x+x\Delta y .
$$

所以 $\Delta z$ 比两者之和高出 $\Delta x\Delta y$。这个交叉项满足 $|\Delta x\Delta y|\le\dfrac{\rho^2}{2}=o(\rho)$，正好是全微分之外的高阶部分：

$$
\mathrm{d}z=y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y
=\mathrm{d}_x z+\mathrm{d}_y z .
$$

## 探索

交互演示：全微分如何近似实际增量？。比较平方和函数的线性部分与实际增量。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $z=x^2y$ 在点 $(1,2)$ 处，当 $\Delta x=0.1$、$\Delta y=0.2$ 时，全微分 $\mathrm{d}z=$ \_\_\_\_\_\_（dz-value）。

   答案：0.6

   $f_x=2xy$、$f_y=x^2$，在 $(1,2)$ 处分别为 $4$ 和 $1$，所以 $\mathrm{d}z=4\times0.1+1\times0.2=0.6$。

2. 关于二元函数的可微、连续与偏导数，正确的说法是

   * A.  偏导数存在一定可微
   * B.  连续一定可微
   * C.  可微一定连续，且两个偏导数都存在
   * D.  可微与偏导数存在等价

   答案：C

   可微推出连续与偏导数存在，这是必要条件；两个反方向都不成立。偏导数存在甚至连连续性都不能保证。

3. 对补充定义 $f(0,0)=0$ 的函数 $f(x,y)=\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$，下列哪些结论正确？

   * A.  函数在原点连续
   * B.  $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$
   * C.  函数在原点可微
   * D.  函数在原点不可微

   答案：A、B、D

   由 $|f(x,y)|\le\dfrac{\rho}{2}$ 得连续；沿坐标轴方向函数值为 $0$，得两个偏导数都为 $0$；但 $\Delta z=\dfrac{\Delta x\Delta y}{\rho}$ 不是 $o(\rho)$，所以不可微。