# 贝叶斯公式

## 公式

设 $B_1,\ldots,B_n$ 是[完备事件组](/knowledge/maths/probability/event-partition/)，且 $P(B_i)>0$，$A$ 为满足 $P(A)>0$ 的事件，则对每个 $j=1,\ldots,n$，

$$
P(B_j\mid A)=\frac{P(B_j)P(A\mid B_j)}{\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A\mid B_i)}.
$$

分子是交事件的概率 $P(AB_j)$，分母是 $P(A)$ 的[全概率展开](/knowledge/maths/probability/total-probability/)。因此公式就是把

$$
P(B_j\mid A)=\frac{P(AB_j)}{P(A)}
$$

写成只用各来源概率和来源内条件概率表示的形式。

## 性质

### 先验概率与后验概率

* $P(B_j)$：**先验概率**，观察结果之前对各来源的判断。
* $P(A\mid B_j)$：来源确定为 $B_j$ 时结果 $A$ 出现的概率，它衡量该来源产生这个结果的难易。
* $P(B_j\mid A)$：**后验概率**，观察到结果 $A$ 之后对来源的重新判断。

贝叶斯公式用各来源产生结果的相对难易重新分配先验概率，分母 $P(A)$ 起归一化作用。后验概率一般不等于先验概率：若某个来源比别的来源更容易产生结果 $A$，它的后验概率就高于先验概率。

> [!WARNING]
> 贝叶斯公式的分母必须包含所有可能来源。漏掉某个 $B_i$ 时，分母少了该来源贡献的那部分概率，算出的比值一般大于真正的后验概率。

> [!NOTE]
> 两条公式常配合使用：先用全概率公式算出 $P(A)$，再把同一个和式放进贝叶斯公式的分母。全概率回答“结果的总概率是多少”，贝叶斯回答“结果已发生，它来自哪个来源”。

## 例子

**甲乙两厂供货中的次品**

甲厂供货占 $60\%$，次品率 $1\%$；乙厂供货占 $40\%$，次品率 $3\%$。记 $D$ 为抽到次品，$B_1$ 为产品来自甲厂，$B_2$ 为产品来自乙厂，则 $B_1,B_2$ 构成完备事件组。

由全概率公式，

$$
P(D)=0.6\times 0.01+0.4\times 0.03=0.006+0.012=0.018.
$$

已知抽到次品，它来自乙厂的概率由贝叶斯公式得到：

$$
P(B_2\mid D)=\frac{0.4\times 0.03}{0.018}=\frac{0.012}{0.018}=\frac23.
$$

乙厂供货的先验概率为 $0.4$，观察到次品后上升为 $\dfrac23$：乙厂次品率更高，出现次品这一结果使“产品来自乙厂”的判断变得更可能。

## 练习

1. 某车间有 $A$、$B$ 两条生产线：$A$ 线产量占 $70\%$，次品率 $2\%$；$B$ 线产量占 $30\%$，次品率 $6\%$。已知取到的产品是次品，它来自 $A$ 线的概率为 \_\_\_\_\_\_（posterior-value）。

   答案：0.4375

   由贝叶斯公式，$P(A\mid D)=\dfrac{0.7\times 0.02}{0.032}=\dfrac{0.014}{0.032}=0.4375$。

2. 在贝叶斯公式中，分母应当是什么？

   * A.  目标来源的 $P(B_j)P(A\mid B_j)$
   * B.  $P(A)$，即所有来源的 $P(B_i)P(A\mid B_i)$ 之和
   * C.  $P(B_j)$
   * D.  $1-P(A)$

   答案：B

   分母是 $P(A)$，由全概率公式展开为 $\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)$。只写目标来源的那一项，通常会把分母算小，比值偏大，不再等于真正的后验概率。

## 交互探索

交互演示：筛选之后，样本组成怎样改变？。用面积展示先验比例、条件筛选与后验概率。 请在站点操作演示。