# 伯努利试验序列

## 定义

每次试验只关心“成功”与“失败”两种结果，成功概率恒为 $p$（$0<p<1$），且各次试验相互独立，这样的序列称为**伯努利试验序列**，也称作 $n$ 重伯努利试验。

$n$ 次试验中恰好成功 $k$ 次（$k=0,1,\dots,n$）的概率为

$$
P\{\text{恰好成功 }k\text{ 次}\}=C_n^k p^k(1-p)^{n-k},
\qquad C_n^k=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.
$$

至少成功一次的概率用对立事件“一次都不成功”计算：

$$
P\{\text{至少成功一次}\}=1-P\{\text{一次都不成功}\}=1-(1-p)^n.
$$

若要求至少成功一次的概率不小于 $q$（$0<q<1$），则需要

$$
1-(1-p)^n\ge q
\quad\Longleftrightarrow\quad
(1-p)^n\le 1-q.
$$

因为 $0<1-p<1$，所以 $\ln(1-p)<0$；两边取对数后再除以这个负数时，不等号方向改变：

$$
n\ge\frac{\ln(1-q)}{\ln(1-p)}.
$$

满足该式的最小正整数就是所需的试验次数。

> [!TIP]
> **两种常见问法**
>
> “恰好成功 $k$ 次”用二项概率公式，系数 $C_n^k$ 不能漏；“至少成功一次”先取对立事件，再解关于 $n$ 的不等式。后者的概率随 $n$ 增大迅速趋近 $1$，不要与“恰好一次”混淆。

试验独立性的判定见[事件的独立性](/knowledge/maths/probability/independence/)。成功次数的分布可进一步联系[二项分布](/knowledge/maths/probability/binomial-distribution/)。

## 交互探索

改变单次成功概率 $p$ 和试验次数 $n$，比较至少成功一次的概率。各次试验相互独立且成功概率相同，所以一次都不成功的概率是 $(1-p)^n$。

交互演示：至少成功一次的概率怎样变化？。改变独立试验次数和成功率，计算至少成功一次的概率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 进行 $5$ 次独立重复试验，每次成功的概率为 $0.2$。恰好成功 $2$ 次的概率为 \_\_\_\_\_\_（exactly-two）。

   答案：0.2048

   由二项概率公式，$C_5^2(0.2)^2(0.8)^3=10\times0.04\times0.512=0.2048$。

2. 进行 $3$ 次独立重复试验，每次成功的概率为 $0.1$。至少成功一次的概率为 \_\_\_\_\_\_（at-least）。

   答案：0.271

   取对立事件“三次都失败”：$1-(0.9)^3=1-0.729=0.271$。