# 二项分布

## 定义

在 $n$ 次相互独立、每次成功概率为 $p$ 的伯努利试验中，成功次数 $X$ 服从二项分布，记为 $X\sim B(n,p)$，其中 $n$ 为非负整数，$0\le p\le1$。对 $k=0,1,\ldots,n$，

$$
P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}.
$$

系数 $\binom nk$ 计算 $k$ 次成功出现的位置组合。$n=1$ 时得到两点分布。

## 性质

$E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$。当 $n$ 较大、$p$ 较小且 $np$ 保持有限时，可用参数为 $np$ 的[泊松分布](/knowledge/maths/probability/poisson-distribution/)近似；准确程度取决于参数，不能只凭 $n$ 大判断。

### 独立二项变量之和

若 $X_i\sim B(n_i,p)$ 相互独立且成功概率相同，则 $\sum_iX_i\sim B(\sum_i n_i,p)$。成功概率不同时，这个结论一般不成立。

## 例子

**两个独立二项变量之和**

设 $X\sim B(3,0.4)$，$Y\sim B(5,0.4)$ 且相互独立。两者的成功概率相同，所以

$$
X+Y\sim B(8,0.4),
$$

于是 $P\{X+Y=0\}=0.6^{8}$，$E(X+Y)=8\times0.4=3.2$。若把 $Y$ 换成与 $X$ 独立但成功概率不同的 $Y'\sim B(5,0.7)$，$X+Y'$ 就不再服从二项分布。

## 交互探索

改变试验次数、单次成功概率和成功次数，查看二项分布各个取值的概率。

交互演示：恰好成功指定次数的概率是多少？。改变二项分布的参数，比较各个成功次数的概率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $X\sim B(3,0.5)$，则 $P\{X=2\}=$ \_\_\_\_\_\_（binomial-prob）。

   答案：0.375

   $P\{X=2\}=C_3^2(0.5)^2(0.5)^1=3/8=0.375$。

2. 设 $X\sim B(2,0.3)$，$Y\sim B(4,0.3)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。$X+Y$ 服从什么分布？

   * A.  $B(6,0.3)$
   * B.  $B(6,0.09)$
   * C.  $B(4,0.3)$
   * D.  正态分布 $N(6\times0.3,\ 6\times0.3\times0.7)$

   答案：A

   成功概率相同，二项变量之和仍为二项变量，试验次数相加：$X+Y\sim B(2+4,0.3)=B(6,0.3)$。方差是 $6\times0.3\times0.7$，不必新算，但分布仍是离散的二项分布，不是正态分布。

3. 设 $X\sim B(2,0.3)$，$Y\sim B(4,0.5)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。关于 $X+Y$ 的分布，正确的说法是

   * A.  服从 $B(6,0.4)$，其中 $p$ 取两个概率的平均
   * B.  服从 $B(6,p)$，只是 $p$ 不便写出
   * C.  一般不服从二项分布
   * D.  一定服从正态分布

   答案：C

   二项分布的可加性要求成功概率相同。$p$ 不同时，和一般不再是二项分布，也不能把 $p$ 取平均。