# 二维联合分布函数

## 定义

设 $X$、$Y$ 是定义在同一概率空间上的随机变量，组成[二维随机向量](/knowledge/maths/probability/random-vector/) $(X,Y)$。

对任意实数 $x,y$，把 $\{X\le x\}$ 与 $\{Y\le y\}$ 同时发生的事件记作 $\{X\le x,\,Y\le y\}$。称二元函数

$$
F(x,y)=P\{X\le x,\;Y\le y\},\qquad -\infty<x,y<+\infty
$$

为 $(X,Y)$ 的**联合分布函数**。$F(x,y)$ 是点 $(x,y)$ 左下无穷矩形区域上的概率，它只是一维分布函数 $F(x)=P\{X\le x\}$ 的推广形式；一维情形见[分布函数](/knowledge/maths/probability/distribution-function/)。

矩形区域的概率由 $F$ 在四个顶点处的取值组合得到。对 $a<b$、$c<d$，

$$
\begin{aligned}
P\{a<X\le b,\;c<Y\le d\}
={}&F(b,d)-F(a,d)\\
&-F(b,c)+F(a,c).
\end{aligned}
$$

这个式子决定了二维情形的端点写法：四个顶点都要取到，不能用一维的差 $F(b)-F(a)$ 直接套用。

## 性质

联合分布函数 $F(x,y)$ 满足：

1. **对每个坐标单调不减**：固定 $y$，若 $x_1<x_2$，则 $F(x_1,y)\le F(x_2,y)$；固定 $x$ 时对 $y$ 同理。
2. **对每个坐标右连续**：$F(x+0,y)=F(x,y)$，$F(x,y+0)=F(x,y)$。
3. **极限行为**：任一坐标趋于 $-\infty$ 时极限为零，即 $F(-\infty,y)=0$、$F(x,-\infty)=0$；两个坐标同时趋于 $+\infty$ 时极限为一，即 $F(+\infty,+\infty)=1$。
4. **矩形增量非负**：对任意 $a<b$、$c<d$，都有 $F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)\ge 0$。

> [!WARNING]
> 仅逐坐标单调（即使对每个坐标右连续）不足以保证一个二元函数是联合分布函数。还必须检查任意矩形上的增量非负，这是二维特有的要求；只按一维的三条性质推广会漏掉这一条。

## 例子

**支持区域如何限制分布函数的积分**

沿用上例的密度 $f(x,y)=2$（$0<x<y<1$），求 $F\!\left(\dfrac12,1\right)=P\left\{X\le\dfrac12,\;Y\le 1\right\}$。

由于 $Y\le 1$ 在支持区域上自动成立，只需限制 $X\le\dfrac12$，再让 $Y$ 取遍 $x<y<1$：

$$
F\!\left(\frac12,1\right)
=2\int_0^{1/2}\int_x^1 \mathrm dy\,\mathrm dx
=2\int_0^{1/2}(1-x)\,\mathrm dx
=2\left[\frac12-\frac18\right]
=\frac34.
$$

若机械地按矩形积到 $x=\dfrac12$、$y=1$，就会把区域 $y<x$ 上密度为零的部分也算进去，得到错误结果。

## 交互探索

联合密度在 $0<x<y<1$ 上为 $2$。调整 $a$，图中阴影表示 $F(a,1)=P(X\le a,Y\le1)$ 的积分区域。

交互演示：三角形支持区域内的概率怎样计算？。改变竖直边界，比较事件区域与支持区域。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 关于联合分布函数 $F(x,y)$，下列说法正确的有

   * A.  对每个坐标单调不减
   * B.  对每个坐标右连续
   * C.  只要对每个坐标单调不减，就能作为某个二维随机变量的联合分布函数
   * D.  对任意 $a<b$、$c<d$，矩形 $a<x\le b$、$c<y\le d$ 上的概率增量必须非负

   答案：A、B、D

   联合分布函数除逐坐标单调、右连续外，还要求矩形增量非负；仅逐坐标单调不足以保证它能作为联合分布函数。