# 中心极限定理

## 定义

设 $Z_n$ 与 $Z$ 是随机变量，分布函数分别为 $F_n$ 与 $F$。若对 $F$ 的每个连续点 $x$ 都有 $F_n(x)\to F(x)$，则称 $Z_n$ **依分布收敛**于 $Z$，记作 $Z_n\xrightarrow{d}Z$。

中心极限定理是一类结论：在适当条件下，独立随机变量之和经过中心化和标准化后，依分布收敛于标准正态分布 $N(0,1)$。标准化指减去和的期望，再除以和的标准差。本页记 $E(X)$ 与 $D(X)$ 分别为随机变量的数学期望与方差，定义和性质见[数学期望](/knowledge/maths/probability/expectation/)。记标准正态分布的分布函数为

$$
\Phi(x)=P\{Z\le x\},\qquad Z\sim N(0,1),
$$

则结论可以写成：对每个实数 $x$，

$$
P\{Z_n\le x\}\to\Phi(x).
$$

$\Phi$ 的密度、性质与查表方法见[正态分布](/knowledge/maths/probability/normal-distribution/)。

> [!NOTE]
> **依分布收敛看的是分布，不是取值**
>
> $Z_n\xrightarrow{d}N(0,1)$ 只说明 $Z_n$ 落入各区间内的概率逐渐接近标准正态分布给出的概率。它不表示 $Z_n$ 依概率收敛到某个固定值，也不说明原来的 $X_i$ 服从正态分布。

## 独立同分布中心极限定理

设 $X_1,X_2,\ldots$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2\in(0,\infty)$。记 $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$，$\bar X_n=S_n/n$，则

$$
Z_n=\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}
=\frac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}
\xrightarrow{d}N(0,1).
$$

也就是对任意实数 $x$，$P\{Z_n\le x\}\to\Phi(x)$。样本量较大时，可以把和与均值近似为正态变量：

$$
S_n\approx N(n\mu,n\sigma^2),\qquad
\bar X_n\approx N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).
$$

若总体本身就是正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$，则对任意 $n$，$S_n$ 与 $\bar X_n$ 的上述正态分布精确成立，不需要“样本量较大”这个前提。

> [!IMPORTANT]
> **方差必须有限且为正**
>
> 定理要求 $0<\sigma^2<\infty$。方差不存在（重尾分布）时不能使用这个版本；$\sigma^2=0$ 时 $X_i$ 几乎必然等于常数 $\mu$，标准化分母为零，也没有非退化的极限分布。

### 与大数定律的分工

大数定律说明样本均值靠近哪里：$\bar X_n\xrightarrow{P}\mu$。中心极限定理说明这个误差在适当缩放下服从什么分布：$\dfrac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}$ 近似服从 $N(0,1)$。前者给出位置，后者给出波动的形状，两者不能互相替代。大数定律的完整陈述见[大数定律](/knowledge/maths/probability/law-of-large-numbers/)。

## 二项分布的正态近似

若 $X\sim B(n,p)$（二项分布，见[二项分布](/knowledge/maths/probability/binomial-distribution/)），其中 $0<p<1$ 固定，则二项变量是 $n$ 个独立同分布的两点变量之和，每个两点变量的均值为 $p$、方差为 $p(1-p)$。由独立同分布中心极限定理，

$$
\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\xrightarrow{d}N(0,1),
$$

即 $X$ 近似服从 $N\bigl(np,np(1-p)\bigr)$。

由于 $X$ 只取整数，计算 $P\{a\le X\le b\}$（$a,b$ 为整数）时要做**连续性修正**：把区间端点各向外扩 $0.5$，再标准化。于是

$$
P\{a\le X\le b\}\approx
\Phi\left(\frac{b+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)
-\Phi\left(\frac{a-0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right).
$$

1. **检查近似条件**：$np$ 与 $n(1-p)$ 都应足够大；不满足时改用二项分布直接求和或泊松近似。

2. **做连续性修正**：双侧区间 $P\{a\le X\le b\}$ 的上下界分别改为 $b+0.5$ 与 $a-0.5$。单侧概率按同一原则处理：$P\{X\le k\}$ 的上界用 $k+0.5$；$P\{X\ge k\}$ 的下界用 $k-0.5$；$P\{X>k\}$ 先改成 $P\{X\ge k+1\}$，下界再用 $k+0.5$。

3. **标准化**：用 $z=\dfrac{x-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ 把修正后的端点换成标准正态分位数。

4. **查表作差**：计算 $\Phi(z_{\text{上}})-\Phi(z_{\text{下}})$；单侧概率用 $1-\Phi(z)$ 或 $\Phi(z)$。

近似条件只看 $np$ 与 $n(1-p)$ 的大小。常见的“不小于 $5$ 或 $10$”只是经验筛查：尾部概率、强偏斜（$p$ 接近 $0$ 或 $1$）时近似仍可能不准，不存在对所有总体都有效的固定样本量门槛。

> [!CAUTION]
> **分母是标准差，不是方差**
>
> 标准化时除的是 $\sqrt{np(1-p)}$，不是方差 $np(1-p)$。另外，双侧区间两端都要向外扩 $0.5$；单侧概率只修正有限的那一端，否则概率会被系统性地高估或低估。

## 例子

**公平硬币掷100次：$40\le X\le 60$ 的概率**

设 $X\sim B(100,\frac12)$，则 $np=50$，$\sqrt{np(1-p)}=5$。使用连续性修正，

$$
P\{40\le X\le 60\}
\approx\Phi\left(\frac{60.5-50}{5}\right)-\Phi\left(\frac{39.5-50}{5}\right)
=\Phi(2.1)-\Phi(-2.1)\approx0.9643.
$$

若不修正，直接代入端点会得到 $\Phi(2)-\Phi(-2)\approx0.9545$；修正后的结果更接近二项分布的直接计算值。

**上界概率 $P\{X\le45\}$**

仍取 $X\sim B(100,\frac12)$。正态近似时上界用 $45.5$：

$$
P\{X\le45\}\approx\Phi\left(\frac{45.5-50}{5}\right)=\Phi(-0.9)\approx0.1841.
$$

这里下界是 $-\infty$，不需要修正；只把有限的上界向外扩 $0.5$。

**近似条件不满足时**

设 $X\sim B(100,0.01)$，则 $np=1$，$n(1-p)=99$，$np$ 太小。若仍使用正态近似，取连续性修正后的下界 $2.5$：

$$
P\{X\ge3\}\approx1-\Phi\left(\frac{2.5-1}{\sqrt{0.99}}\right)\approx0.0658,
$$

而二项分布直接计算得 $P\{X\ge3\}\approx0.0794$。误差来自 $np=1$ 太小，这种情形应改用二项分布直接求和或泊松近似。

## 一般独立变量的条件

独立但不同分布时，不能直接套用同分布版本。令

$$
S_n=\sum_{i=1}^nX_i,\qquad s_n^2=\sum_{i=1}^nD(X_i)>0.
$$

常用的李雅普诺夫充分条件是：存在 $\delta>0$，使

$$
\frac{\sum_{i=1}^nE|X_i-E(X_i)|^{2+\delta}}{s_n^{2+\delta}}\to0.
$$

此时中心化的和除以 $s_n$ 趋于标准正态分布：

$$
\frac{S_n-E(S_n)}{s_n}\xrightarrow{d}N(0,1).
$$

条件限制了个别变量对总波动的支配程度：某个 $X_i$ 的波动过大时，和的分布可能由它主导，标准正态近似失效。

> [!WARNING]
> **极限定理不保证有限样本的精度**
>
> 中心极限定理给出 $n\to\infty$ 时的极限。有限 $n$ 的近似精度取决于原分布的形状和尾部；使用有限方差版本需要总体方差有限，二项近似还受 $np$ 与 $n(1-p)$ 大小的影响。

## 练习

1. 公平硬币掷 $100$ 次，正面次数 $X\sim B(100,\frac12)$。用正态近似计算 $P\{40\le X\le60\}$ 时，做连续性修正后：

   1. 标准化后的上界 $z_{\text{上}}=$ \_\_\_\_\_\_（z-upper）。

      答案：2.1

      上界为 $60.5$，所以 $z_{\text{上}}=\dfrac{60.5-50}{5}=2.1$。

   2. 标准化后的下界 $z_{\text{下}}=$ \_\_\_\_\_\_（z-lower）。

      答案：-2.1

      下界为 $39.5$，所以 $z_{\text{下}}=\dfrac{39.5-50}{5}=-2.1$。

2. 关于大数定律与中心极限定理，下列哪些说法正确？

   * A.  大数定律说明样本均值依概率收敛于总体均值
   * B.  中心极限定理说明标准化后的样本均值依分布收敛于 $N(0,1)$
   * C.  中心极限定理说明每个 $X_i$ 近似服从正态分布
   * D.  当 $X_i$ 独立同分布且总体为正态分布时，$\bar X_n$ 对任意 $n$ 都精确服从 $N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$

   答案：A、B、D

   中心极限定理讨论的是标准化和或标准化的样本均值，不是单个 $X_i$ 的分布；其余三项分别是大数定律、中心极限定理的结论和正态总体的精确性质。

3. 设 $X$ 取整数值。用正态近似计算 $P\{X\ge30\}$ 时，连续性修正后的下界应为多少？

   * A.  $30$
   * B.  $29.5$
   * C.  $30.5$
   * D.  $29$

   答案：B

   $P\{X\ge30\}$ 包含 $30$，下界要向外扩 $0.5$，取 $30-0.5=29.5$。

## 交互探索

交互演示：平均值的分布，怎样逐渐聚拢？。重复抽样，比较样本均值的聚拢与标准化之后的正态近似。 请在站点操作演示。