# 切比雪夫不等式

## 定理

只要 $D(X)$ 有限，对任意 $\varepsilon>0$，

$$
P\{|X-E(X)|\ge\varepsilon\}\le\frac{D(X)}{\varepsilon^2}.
$$

等价地，

$$
P\{|X-E(X)|<\varepsilon\}\ge1-\frac{D(X)}{\varepsilon^2}.
$$

若右端为负，只能说概率不小于 $0$，此时得到的是平凡下界。

**证明**

记 $A=\{|X-E(X)|\ge\varepsilon\}$，$I_A$ 是 $A$ 的指示变量，$\mu=E(X)$。在 $A$ 上 $\frac{(X-\mu)^2}{\varepsilon^2}\ge1$，在 $A$ 外这个比值非负，所以处处有

$$
I_A\le\frac{(X-\mu)^2}{\varepsilon^2}.
$$

两边取期望，左边是 $P(A)$，右边是 $\frac{D(X)}{\varepsilon^2}$，即得结论。

> [!NOTE]
> **界宽但通用**
>
> 切比雪夫不等式不要求知道具体分布，代价是界通常偏宽。已知具体分布时可以直接计算概率；当分布未知、只掌握均值和方差，或需要证明统一的概率界时，这个不等式尤其有用。

## 例子

**掷一枚均匀骰子：切比雪夫界有多宽**

设 $X$ 为骰子点数，$E(X)=\dfrac{7}{2}$，且

$$
E(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6},
$$

所以

$$
D(X)=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}.
$$

取 $\varepsilon=2$，切比雪夫不等式给出

$$
P\{|X-3.5|\ge2\}\le\frac{35/12}{4}=\frac{35}{48}\approx0.729.
$$

实际满足 $|X-3.5|\ge2$ 的只有 $X=1$ 与 $X=6$，概率为 $\dfrac13$。界确实成立，但比真实概率宽得多。

## 交互探索

对均匀取 $0$ 或 $1$ 的随机变量，改变偏离阈值，比较真实概率与上界。为便于比较，演示将超过 $1$ 的上界截为 $1$。

交互演示：切比雪夫界离实际概率有多远？。在对称两点分布上比较偏离概率和切比雪夫上界。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $D(X)=2$，用切比雪夫不等式估计 $P\{|X-E(X)|\ge2\}$，得到的上界是 \_\_\_\_\_\_（chebyshev-value）。

   答案：0.5

   代入 $P\{|X-E(X)|\ge\varepsilon\}\le\dfrac{D(X)}{\varepsilon^2}$，得 $\dfrac{2}{2^2}=0.5$。