# 古典概型

## 定义

若样本空间只含有限个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，则称该试验为**古典概型**。此时事件 $A$ 的概率为

$$
P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},
$$

其中 $|A|$ 与 $|\Omega|$ 分别表示 $A$ 与 $\Omega$ 中样本点的个数。

### 计数方法

常用的计数公式为

$$
A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!},\qquad
C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!},\qquad 0!=1.
$$

选择计数方式时先看两点：是否区分顺序，是否允许重复。

| 选取方式    | 计数      |
| :------ | :------ |
| 有顺序、无放回 | $A_n^m$ |
| 无顺序、无放回 | $C_n^m$ |
| 有顺序、可重复 | $n^m$   |

## 例子

**不放回抽取中的次品数**

$10$ 件产品中有 $3$ 件次品，不放回抽取 $4$ 件。样本空间是从 $10$ 件中取 $4$ 件的所有组合，每个样本点等可能。

恰有 $1$ 件次品，需要从 $3$ 件次品中取 $1$ 件，再从 $7$ 件正品中取 $3$ 件，因此

$$
P=\frac{C_3^1C_7^3}{C_{10}^4}=\frac{3\times 35}{210}=\frac12.
$$

## 交互探索

两枚均匀骰子的 $36$ 个有序点数对等可能。改变目标和，统计满足条件的点数对并除以 $36$。

交互演示：两枚骰子点数和的概率怎样计数？。在等可能的有序点数对中统计指定点数和。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $5$ 件产品中有 $2$ 件次品，不放回抽取 $2$ 件。恰有 $1$ 件次品的概率为 \_\_\_\_\_\_（defective-value）。

   答案：0.6

   样本点总数为 $C_5^2=10$，恰有 $1$ 件次品的取法为 $C_2^1C_3^1=6$，所以概率为 $6/10=0.6$。