# 条件分布

## 定义

设 $(X,Y)$ 是二维随机变量。已知 $Y$ 的取值后 $X$ 的分布，称为在 $Y=y$ 条件下 $X$ 的**条件分布**。它把参照范围从 $(X,Y)$ 的全部可能取值缩小到 $Y=y$ 这条截面上，思想上与事件的条件概率 $P(A\mid B)$ 相同，只是条件换成了另一个随机变量的取值。

### 离散型

设联合分布律为

$$
p_{ij}=P\{X=x_i,\;Y=y_j\},\qquad i,j=1,2,\dots,
$$

记行和 $p_{i\cdot}=\sum_j p_{ij}$、列和 $p_{\cdot j}=\sum_i p_{ij}$。若 $p_{\cdot j}>0$，则对每个 $i$，

$$
P\{X=x_i\mid Y=y_j\}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}.
$$

固定 $y_j$ 相当于选定联合表的一列，再用这一列的总概率 $p_{\cdot j}$ 归一化。反方向，若 $p_{i\cdot}>0$，则

$$
P\{Y=y_j\mid X=x_i\}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}.
$$

### 连续型

设联合密度为 $f(x,y)$，边缘密度为 $f_X$、$f_Y$，它们的求法见[边缘分布](/knowledge/maths/probability/marginal-distribution/)。对满足 $f_Y(y)>0$ 的 $y$，定义条件密度与条件分布函数

$$
f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)},\qquad
F_{X\mid Y}(x\mid y)=\int_{-\infty}^{x}f_{X\mid Y}(u\mid y)\,\mathrm du.
$$

反方向，对满足 $f_X(x)>0$ 的 $x$，

$$
f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}.
$$

连续型不能把条件密度解释成除以点概率：$P\{Y=y\}=0$，$P\{X\le x,\;Y=y\}/P\{Y=y\}$ 没有意义。条件密度是通过密度之比构造的，只需在 $f_Y(y)>0$ 处几乎处处确定，个别点的取值不影响积分结果。

## 性质

### 固定条件后仍是分布

固定 $y_j$ 后，条件分布律非负且总和为 $1$：

$$
\sum_i P\{X=x_i\mid Y=y_j\}
=\frac{1}{p_{\cdot j}}\sum_i p_{ij}
=\frac{p_{\cdot j}}{p_{\cdot j}}=1.
$$

固定 $y$（$f_Y(y)>0$）后，条件密度对 $x$ 的积分同样为 $1$：

$$
\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,\mathrm dx
=\frac{1}{f_Y(y)}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dx
=\frac{f_Y(y)}{f_Y(y)}=1.
$$

因此条件密度仍是密度，条件分布律仍是分布律，可以直接用来算条件概率：

$$
P\{X\in A\mid Y=y\}=\int_A f_{X\mid Y}(x\mid y)\,\mathrm dx.
$$

### 支持区域随条件改变

固定 $y$ 后，条件密度只在联合密度非零的截面上取正值，其余位置为零。这个截面就是条件分布的**支持集**。

若联合密度的支持集是矩形（例如 $a<x<b$，$c<y<d$），那么给定 $y$ 后 $x$ 的范围不随 $y$ 改变。若支持集由不等式给出（例如 $0<x<y<1$），给定 $y$ 后 $x$ 的范围会随 $y$ 变化，写条件密度时必须同时写出这个范围。

### 用条件分布还原联合分布

条件密度与边缘密度的乘积就是联合密度：

$$
f(x,y)=f_{X\mid Y}(x\mid y)f_Y(y)=f_{Y\mid X}(y\mid x)f_X(x).
$$

也就是说，边缘分布加上条件分布可以唯一确定联合分布；只有边缘分布则不行。把上式对 $y$ 积分，得到密度形式的全概率公式

$$
f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X\mid Y}(x\mid y)f_Y(y)\,\mathrm dy,
$$

离散型的对应形式是

$$
P\{X=x_i\}=\sum_j P\{X=x_i\mid Y=y_j\}P\{Y=y_j\}.
$$

条件期望（积分绝对收敛时）为

$$
E(X\mid Y=y)=\int_{-\infty}^{+\infty}x f_{X\mid Y}(x\mid y)\,\mathrm dx.
$$

它可以先固定条件算出关于 $y$ 的函数，再对条件变量求平均；在混合模型中，这条路径通常比直接求边缘分布更省事。

> [!WARNING]
> 条件概率的分母是条件事件所在列（或行）的边缘概率，不是 $P\{X=x_i\}$。分母用错，各条件概率之和不等于 $1$。

> [!CAUTION]
> 支持区域会随条件改变。联合密度只在 $0<x<y<1$ 上非零时，给定 $Y=y$ 后 $x$ 只能取 $0<x<y$，不能仍写成 $0<x<1$。

## 例子

**由联合分布律求条件分布律**

设联合分布律为 $P\{X=0,Y=0\}=0.2$，$P\{X=0,Y=1\}=0.3$，$P\{X=1,Y=0\}=0.1$，$P\{X=1,Y=1\}=0.4$。列和分别为 $P\{Y=0\}=0.3$、$P\{Y=1\}=0.7$。

在 $Y=1$ 的条件下取第二列，除以列和：

$$
P\{X=0\mid Y=1\}=\frac{0.3}{0.7}=\frac37,\qquad
P\{X=1\mid Y=1\}=\frac{0.4}{0.7}=\frac47.
$$

两者之和为 $1$。同理，在 $Y=0$ 的条件下 $P\{X=0\mid Y=0\}=\frac{0.2}{0.3}=\frac23$，$P\{X=1\mid Y=0\}=\frac13$。条件分布与边缘分布 $P\{X=0\}=0.5$ 不同，说明两个变量不独立。

**三角形区域上的条件密度与条件期望**

设联合密度为

$$
f(x,y)=\begin{cases}2,&0<x<y<1,\\0,&\text{其他}.\end{cases}
$$

关于 $Y$ 的边缘密度为 $f_Y(y)=2y$（$0<y<1$）。对 $0<y<1$，条件密度为

$$
f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}
=\begin{cases}\dfrac{1}{y},&0<x<y,\\0,&\text{其他}.\end{cases}
$$

固定 $y$ 后，这是区间 $(0,y)$ 上的均匀分布，即 $X\mid Y=y\sim U[0,y]$。条件期望为

$$
E(X\mid Y=y)=\int_0^y x\cdot\frac1y\,\mathrm dx=\frac{y}{2}.
$$

用全概率公式核对边缘密度：

$$
f_X(x)=\int_x^1 \frac1y\cdot 2y\,\mathrm dy=\int_x^1 2\,\mathrm dy=2(1-x),\qquad 0<x<1,
$$

与直接对 $y$ 积分得到的边缘密度一致。

## 交互探索

选择条件变量的取值，观察另一个零一变量在该条件下的分布。

交互演示：固定不同的条件值，分布怎样变化？。对两个零一变量，比较给定不同条件时的条件分布。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $(X,Y)$ 的联合分布律为 $P\{X=0,Y=0\}=0.1$，$P\{X=0,Y=1\}=0.15$，$P\{X=1,Y=0\}=0.3$，$P\{X=1,Y=1\}=0.45$。

   1. $P\{X=0\mid Y=1\}=$ \_\_\_\_\_\_（x-given-y1-value）。

      答案：0.25

      列和 $P\{Y=1\}=0.15+0.45=0.6$，所以 $P\{X=0\mid Y=1\}=0.15/0.6=0.25$。

   2. $P\{Y=0\mid X=1\}=$ \_\_\_\_\_\_（y-given-x1-value）。

      答案：0.4

      行和 $P\{X=1\}=0.3+0.45=0.75$，所以 $P\{Y=0\mid X=1\}=0.3/0.75=0.4$。

2. 设 $f(x,y)=2$（$0<x<y<1$），其他位置 $f(x,y)=0$。

   1. $f_{X\mid Y}\left(\frac14\mid\frac12\right)=$ \_\_\_\_\_\_（density-value-input）。

      答案：2

      $f_Y\left(\frac12\right)=2\cdot\frac12=1$，所以条件密度在 $0<x<\frac12$ 上等于 $\dfrac{2}{1}=2$。

   2. 给定 $Y=\frac12$ 后，$X$ 服从

      * A.  $U[0,\frac12]$
      * B.  $U[0,1]$
      * C.  $U[\frac12,1]$
      * D.  指数分布 $E(2)$

      答案：A

      条件密度在 $0<x<\frac12$ 上恒为 $2$，恰是长度 $\frac12$ 的区间上的均匀密度。

3. 设 $f(x,y)=2$（$0<x<y<1$），其他位置 $f(x,y)=0$。$E\left(X\mid Y=\frac45\right)=$ \_\_\_\_\_\_（expected-value-input）。

   答案：0.4

   条件期望为 $E(X\mid Y=y)=\dfrac{y}{2}$，代入 $y=\frac45$ 得 $\dfrac25=0.4$。

4. 关于条件分布，下列说法正确的有

   * A.  固定的 $y$ 满足 $f_Y(y)>0$ 时，$f_{X\mid Y}(x\mid y)$ 对 $x$ 的积分为 $1$
   * B.  连续型可以直接用 $P\{X\le x,\;Y=y\}/P\{Y=y\}$ 定义条件分布
   * C.  $f(x,y)=f_{X\mid Y}(x\mid y)f_Y(y)$
   * D.  给定 $Y=y$ 后，$X$ 的取值范围可能随 $y$ 改变

   答案：A、C、D

   条件密度是密度之比，对 $x$ 积分为 $1$；它与边缘密度相乘还原联合密度；支持集不是矩形时条件范围随条件改变。连续型的 $P\{Y=y\}=0$，B中的比值没有意义。