# 条件期望

## 定义

给定 $Y$ 的某个取值时，$X$ 的**条件期望**是在条件分布下算出的期望。若 $X$ 与 $Y$ 都是离散型，$P\{Y=y_j\}>0$，则

$$
E(X\mid Y=y_j)=\sum_i x_iP\{X=x_i\mid Y=y_j\};
$$

若 $X$ 为连续型，$Y$ 的密度 $f_Y$ 在 $y$ 处为正，则

$$
E(X\mid Y=y)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{X\mid Y}(x\mid y)\,\mathrm dx,
$$

其中 $f_{X\mid Y}$ 是条件密度，它由联合密度除以边缘密度 $f_Y(y)$ 得到，具体写法见[条件分布](/knowledge/maths/probability/conditional-distribution/)。

## 性质

把 $E(X\mid Y)$ 整体看作 $Y$ 的函数，它就是一个随机变量：当 $Y=y_j$ 时取 $E(X\mid Y=y_j)$，当 $Y=y$ 时取 $E(X\mid Y=y)$。**全期望公式**把它再取一次期望，得到 $X$ 的无条件期望：

$$
E(X)=E\bigl[E(X\mid Y)\bigr].
$$

按 $Y$ 的取值展开，就是

$$
E(X)=\sum_jE(X\mid Y=y_j)P\{Y=y_j\}\qquad(Y\text{ 离散}),
$$

或

$$
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}E(X\mid Y=y)f_Y(y)\,\mathrm dy\qquad(Y\text{ 连续}).
$$

**证明**

离散情形。把 $P\{X=x_i\}$ 按 $Y$ 的取值分组（对 $P\{Y=y_j\}>0$ 的 $j$），

$$
\begin{aligned}
E(X)
&=\sum_i x_iP\{X=x_i\}
=\sum_i x_i\sum_jP\{X=x_i,\ Y=y_j\}\\
&=\sum_jP\{Y=y_j\}\sum_i x_i\frac{P\{X=x_i,\ Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}
=\sum_jP\{Y=y_j\}E(X\mid Y=y_j).
\end{aligned}
$$

第一步是分布律的加法公式，第二步交换求和次序，第三步用条件分布律的定义，最后一步是条件期望的定义。连续情形把求和换成积分、分布律换成密度，论证相同。

> [!TIP]
> **解题顺序**
>
> 总体由多种情形混合时，先在每种情形下求平均，再按情形概率加权。先分层、后平均，通常比直接对总体建模简单；反过来，若题目给出了总体平均与各层比例，也可以反推某一层的条件均值。

## 交互探索

改变组别比例与条件均值，比较组内平均数和总体平均数。

交互演示：两组平均数怎样汇成总体平均数？。改变两组的条件均值和比例，计算总体期望。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $P\{Y=1\}=0.4$，$P\{Y=2\}=0.6$，且 $E(X\mid Y=1)=3$，$E(X\mid Y=2)=5$，则 $E(X)=$ \_\_\_\_\_\_（total-value）。

   答案：4.2

   由全期望公式，$E(X)=0.4\times3+0.6\times5=1.2+3=4.2$。