# 条件概率与乘法公式

## 定义

设 $A$ 与 $B$ 是样本空间 $\Omega$ 中的事件，且 $P(B)>0$。在已知 $B$ 发生的条件下，$A$ 发生的**条件概率**定义为

$$
P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)},
$$

其中 $AB$ 表示交事件 $A\cap B$。

条件概率把参照范围从 $\Omega$ 缩小到 $B$：与 $B$ 不相交的部分不再参与计算，$B$ 内的样本点按 $P(B)$ 重新归一化。因此条件概率仍是概率，只是样本空间换成了 $B$，它满足的公理与运算规律见[概率公理](/knowledge/maths/probability/probability-axioms/)。

定义要求 $P(B)>0$。$P(B)=0$ 时分式没有意义，不能直接对零概率事件取条件。

$P(AB)$ 与 $P(A\mid B)$ 不是同一个量：前者是 $A$ 与 $B$ 同时发生的概率，后者是已知 $B$ 发生后 $A$ 发生的概率。两者的联系由乘法公式给出。同样，$P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 一般也不相等：它们分别以 $B$ 和 $A$ 为参照范围。

## 性质

### 固定条件下仍满足概率的运算规律

固定事件 $B$（$P(B)>0$）后，$P(\cdot\mid B)$ 仍满足概率的三条公理：

* 非负性：$P(A\mid B)\ge 0$；
* 规范性：$P(\Omega\mid B)=1$，$P(\varnothing\mid B)=0$；
* 可列可加性：若 $A_1,A_2,\ldots$ 两两互斥，则

$$
P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\mid B\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i\mid B).
$$

由此得到常用关系

$$
P(\bar A\mid B)=1-P(A\mid B).
$$

若 $AB=\varnothing$，则 $P(A\mid B)=0$；若 $B\subseteq A$，则 $P(A\mid B)=1$。

### 乘法公式

把条件概率的定义式移项，得到**乘法公式**

$$
P(AB)=P(B)P(A\mid B)=P(A)P(B\mid A).
$$

第一个等号要求 $P(B)>0$，第二个要求 $P(A)>0$。乘法公式对任意满足条件的事件都成立，不要求 $A$ 与 $B$ 独立：它只是把交事件拆成“先发生一个事件，再在已知它发生的条件下发生另一个”。

### 多个事件依次发生

设各条件事件的概率都为正，则

$$
P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1A_2)\cdots P(A_n\mid A_1\cdots A_{n-1}),
$$

其中 $A_1\cdots A_k$ 表示前 $k$ 个事件同时发生。第一个因子要求 $P(A_1)>0$，第二个因子要求 $P(A_1A_2)>0$，依次类推。

> [!WARNING]
> 不放回抽样时，后一步的分母与分子都要随已有结果更新：取走一个球后，总数和该类剩余个数都减少，条件概率不能沿用第一次的数值。

## 例子

**掷一枚骰子：已知点数为偶数**

样本空间为 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$。设 $B=\{2,4,6\}$ 表示点数为偶数，$A=\{2\}$ 表示点数为 $2$。则 $P(B)=\dfrac{1}{2}$，$P(AB)=\dfrac{1}{6}$，所以

$$
P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{1/6}{1/2}=\frac13.
$$

无条件概率 $P(A)=\dfrac16$。已知点数为偶数后，样本空间缩成 $B$，概率变为原来的两倍。

**不放回抽样中的乘法公式**

袋中有 $3$ 个红球、$2$ 个白球，依次取出两个球，取后不放回。第一次取到红球的概率为 $\dfrac35$；在第一次取到红球的条件下，袋中还剩 $2$ 红 $2$ 白，第二次取到红球的概率为 $\dfrac24=\dfrac12$。由乘法公式，两次都取到红球的概率为

$$
P(\text{两次都红})=\frac35\times\frac12=\frac{3}{10}.
$$

## 交互探索

用均匀骰子构造两个事件。固定条件后，条件概率的分母只计入满足条件的点数。

交互演示：已知条件怎样改变骰子概率？。在一枚均匀骰子的样本空间上改变两个阈值，比较条件范围与交集的点数。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 袋中有 $3$ 个红球、$2$ 个白球，依次取出两个球，取后不放回。

   1. 已知第一次取到红球，第二次取到红球的概率为 \_\_\_\_\_\_（second-value）。

      答案：0.5

      已知第一次取到红球后，袋中还剩 $2$ 红 $2$ 白，共 $4$ 个球，所以条件概率为 $\dfrac{2}{4}=0.5$。

   2. 两次都取到红球的概率为 \_\_\_\_\_\_（both-value）。

      答案：0.3

      第一次取到红球的概率为 $3/5$，再乘以已知第一次为红时第二次也为红的条件概率 $1/2$，得 $3/5\times 1/2=0.3$。

2. 袋中有 $4$ 个红球、$6$ 个白球，依次取出三个球，取后不放回。前两次取到红球、第三次取到白球的概率为 \_\_\_\_\_\_（draw-value）。

   答案：0.1

   按链式乘法公式，概率为 $\dfrac{4}{10}\times\dfrac{3}{9}\times\dfrac{6}{8}=\dfrac{1}{10}=0.1$。

3. 关于 $P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$，下列哪一条正确？

   * A.  当 $P(AB)>0$ 时，两者相等等价于 $P(A)=P(B)$
   * B.  对任意事件都成立 $P(A\mid B)\ge P(A)$
   * C.  计算 $P(A\mid B)$ 要求 $P(A)>0$
   * D.  已知 $B$ 发生不会改变计算概率时的参照范围

   答案：A

   由定义，$P(A\mid B)=P(AB)/P(B)$，$P(B\mid A)=P(AB)/P(A)$。当 $P(AB)>0$ 时两者相等即 $\dfrac{1}{P(B)}=\dfrac{1}{P(A)}$，也就是 $P(A)=P(B)$。条件概率只要求条件事件的概率为正，不要求 $P(A)>0$；已知条件把参照范围缩小到 $B$。

4. 设 $P(B)>0$。下列等式中恒成立的有哪些？

   * A.  $P(\varnothing\mid B)=0$
   * B.  $P(\Omega\mid B)=1$
   * C.  若 $A_1$ 与 $A_2$ 互斥，则 $P(A_1\cup A_2\mid B)=P(A_1\mid B)+P(A_2\mid B)$
   * D.  $P(A\mid B)=P(A)$

   答案：A、B、C

   固定 $B$ 后，$P(\cdot\mid B)$ 仍是概率，因此规范性和互斥可加性都成立；$P(A\mid B)$ 一般不等于 $P(A)$，只在特殊情形下相等。