# 连续型随机变量

## 定义

若存在非负可积函数 $f$，使随机变量 $X$ 的分布函数可以写成

$$
F(x)=P\{X\le x\}=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,\mathrm dt,\qquad -\infty<x<+\infty,
$$

则称 $X$ 为**连续型随机变量**，$f$ 称为 $X$ 的**概率密度函数**，简称密度。

密度满足

$$
f(x)\ge 0,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx=1.
$$

对任意 $a<b$，区间概率由密度积分给出：

$$
P\{a<X<b\}=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.
$$

<!-- more -->

在 $f$ 的连续点处有 $F'(x)=f(x)$。改变 $f$ 在有限个点处的取值不改变积分，也不改变分布。

> [!WARNING]
> **密度不是概率**
>
> $f(x)$ 是 $x$ 附近单位长度上的概率密度，不是 $P\{X=x\}$。密度可以大于 $1$；连续型随机变量满足 $P\{X=x\}=0$，但事件 $\{X=x\}$ 并非不可能事件。

求密度中的未知系数时，必须同时检查非负性与总积分为 $1$，不能只用其中一个条件。

## 性质

### 求密度中的未知系数

1. **写出非负条件**

   对密度支持集内的每个 $x$，要求 $f(x)\ge 0$，据此排除一部分系数取值。

2. **用归一化条件定系数**

   令 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx=1$，解出未知系数，再代回检查非负条件。

3. **求分布函数或区间概率**

   由 $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,\mathrm dt$ 写出分布函数，或直接对所需区间积分。

## 例子

**由归一化条件求系数**

设 $X$ 的密度为

$$
f(x)=\begin{cases}cx^2,&0<x<1,\\0,&\text{其他}.\end{cases}
$$

由

$$
\int_0^1 cx^2\,\mathrm dx=\frac{c}{3}=1
$$

得 $c=3$，且 $3x^2\ge 0$，非负条件也满足。于是 $F(x)=x^3$（$0\le x\le 1$），并且

$$
P\left\{X<\frac12\right\}=\left(\frac12\right)^3=\frac18.
$$

## 交互探索

通过密度曲线下的面积计算区间概率，并比较边界处的密度高度。

交互演示：密度高度和区间概率有什么区别？。比较密度曲线上的高度和区间下的面积。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设连续型随机变量 $X$ 的密度为 $f(x)=cx^2$（$0<x<1$），在其他位置 $f(x)=0$，则 $c=$ \_\_\_\_\_\_（coefficient）。

   答案：3

   由归一化条件 $\int_0^1 cx^2\,\mathrm dx=c/3=1$ 得 $c=3$，且此时 $f(x)\ge 0$。

2. 关于连续型随机变量的密度 $f$，下列说法正确的有

   * A.  $f(x)\ge 0$
   * B.  $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx=1$
   * C.  对一切 $x$ 都有 $f(x)\le 1$
   * D.  $P\{X=a\}=f(a)$

   答案：A、B

   密度非负且全域积分为 $1$，但不要求 $f(x)\le 1$；密度值也不是单点概率，连续型随机变量的单点概率为 $0$。