# 相关系数

## 定义

当 $D(X)>0$、$D(Y)>0$ 时，定义

$$
\rho_{XY}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}.
$$

## 性质

由柯西—施瓦茨不等式，

$$
|\operatorname{Cov}(X,Y)|\le\sqrt{D(X)D(Y)},
$$

所以

$$
-1\le\rho_{XY}\le1.
$$

**证明**

设 $D(Y)>0$。对任意实数 $t$，

$$
D(X+tY)=D(X)+2t\operatorname{Cov}(X,Y)+t^2D(Y)\ge0.
$$

这是关于 $t$ 的非负二次函数，判别式不大于零，即

$$
4\operatorname{Cov}(X,Y)^2-4D(X)D(Y)\le0,
$$

也就是 $|\operatorname{Cov}(X,Y)|\le\sqrt{D(X)D(Y)}$。若 $D(Y)=0$，则 $Y$ 几乎必然是常数，协方差为零，不等式同样成立。

$|\rho|$ 越接近 $1$，线性关联越强；越接近 $0$，线性关联越弱。$\rho=0$ 只说明不相关，不能据此排除曲线形式的关系。$|\rho|=1$ 当且仅当存在 $a\ne0$ 与 $b$，使

$$
P\{Y=aX+b\}=1,
$$

即两个变量以概率一落在一条非水平直线上；$a$ 的符号决定 $\rho$ 的符号。理由是不等式取等号时判别式为零，存在 $t_0$ 使 $D(X+t_0Y)=0$，于是 $X+t_0Y$ 几乎必然是常数，移项即得线性关系；反过来把 $Y=aX+b$ 代入相关系数的定义，也能直接算出 $|\rho|=1$。

相关系数对平移和正数倍缩放不变，对负数倍缩放改变符号：

$$
\rho_{aX+b,cY+d}=\operatorname{sgn}(ac)\,\rho_{XY}\qquad(ac\ne0),
$$

其中 $\operatorname{sgn}$ 是符号函数，取值为 $1$、$-1$ 或 $0$。

若某个变量的方差为零，分母为零，相关系数没有定义，不能说它等于零。

> [!WARNING]
> **分母不能为零**
>
> 常数变量的方差为 $0$，它与任何变量的协方差也为 $0$。此时“不相关”有定义，但相关系数没有定义，不能写成 $\rho=0$。

### 相关不等于因果

相关系数只衡量线性关联的强弱。它不能说明因果关系，也不保证线性模型合适：两个变量可能同时受第三个变量影响，也可能存在明显的曲线关系而相关系数接近零。

## 例子

若两个零一变量的边缘概率均为 $1/2$，且 $P(X=1,Y=1)=0.4$，则协方差为 $0.4-0.25=0.15$，两个方差均为 $0.25$，所以相关系数为 $0.15/0.25=0.6$。

**仿射变换后的相关系数**

对上例的 $X$、$Y$ 令 $U=2X+1$，$V=-3Y+2$。这里 $a=2$、$c=-3$，$ac=-6<0$，所以

$$
\rho_{UV}=\operatorname{sgn}(-6)\times0.6=-0.6.
$$

平移不改变相关程度，负倍数把关联方向反过来，相关系数只改变符号，绝对值仍为 $0.6$。

## 交互探索

观察相关系数为零时仍可能存在确定的非线性关系。

交互演示：相关系数为零时，还可能有函数关系吗？。在确定的曲线关系中调整线性项并计算相关系数。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 已知 $\operatorname{Cov}(X,Y)=3$，$D(X)=4$，$D(Y)=9$，则 $\rho_{XY}=$ \_\_\_\_\_\_（rho-value-blank）。

   答案：0.5

   分母为 $\sqrt{4\times9}=6$，所以 $\rho_{XY}=\dfrac{3}{6}=0.5$。