# 离散型随机变量

## 定义

若随机变量 $X$ 的全部可能取值是有限个或可列个，即 $x_1,x_2,\ldots$，则称 $X$ 为**离散型随机变量**。它由每个取值的概率完整描述：

$$
P\{X=x_k\}=p_k,\qquad p_k\ge 0,\qquad \sum_k p_k=1.
$$

这组概率称为 $X$ 的**分布律**（也叫分布列）。两条要求缺一不可：每个 $p_k$ 非负，所有取值的概率之和为 $1$。

事件 $\{X\in A\}$ 的概率按取值相加：

$$
P\{X\in A\}=\sum_{x_k\in A}p_k.
$$

<!-- more -->

分布律与分布函数 $F(x)=P\{X\le x\}$ 互相决定。离散型的 $F$ 是阶梯函数，在每个取值 $x_k$ 处向上跳跃 $p_k$：

$$
F(x)=\sum_{x_k\le x}p_k.
$$

## 常用模型

具体模型见[二项分布](/knowledge/maths/probability/binomial-distribution/)、[泊松分布](/knowledge/maths/probability/poisson-distribution/)、[几何分布](/knowledge/maths/probability/geometric-distribution/)和[超几何分布](/knowledge/maths/probability/hypergeometric-distribution/)。

## 交互探索

调整三个取值的概率，检查非负性和总和为 $1$ 的约束。

交互演示：离散分布的概率怎样分配？。调整三个取值的概率，观察归一化约束。 请在站点操作演示。