# 分布函数

## 定义

设 $X$ 是[随机变量](/knowledge/maths/probability/random-variable/)。对任意实数 $x$，$\{X\le x\}$ 表示使 $X(\omega)\le x$ 的所有样本点组成的集合，它是一个事件。**分布函数**定义为

$$
F(x)=P\{X\le x\},\qquad -\infty<x<+\infty.
$$

分布函数在全体实数上有定义，并且只由概率决定，所以离散型、连续型和混合型随机变量都可以用它描述，不需要事先假定存在分布律或概率密度。

> [!NOTE]
> **记号约定**
>
> $P\{X\le x\}$ 与 $P(X\le x)$ 含义相同，本页统一用前者。$F(x)$ 是 $x$ 的函数，其中 $x$ 取任意实数，不是随机变量。

## 分布函数的性质

设 $F$ 是随机变量 $X$ 的分布函数。

1. **单调不减**：若 $x_1<x_2$，则 $F(x_1)\le F(x_2)$。
2. **右连续**：$F(x+0)=F(x)$，即 $\lim_{t\to x^+}F(t)=F(x)$。左极限 $F(x-0)=\lim_{t\to x^-}F(t)$ 存在，但可以不等于 $F(x)$。
3. **两端极限**：$F(-\infty)=\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$，$F(+\infty)=\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$。

**证明**

**单调性**

若 $x_1<x_2$，则事件 $\{X\le x_1\}$ 是 $\{X\le x_2\}$ 的子集。由概率的单调性，

$$
F(x_1)=P\{X\le x_1\}\le P\{X\le x_2\}=F(x_2).
$$

**右连续与左极限**：当 $x_n\downarrow x$ 时，事件 $\{X\le x_n\}$ 单调减少，其交为 $\{X\le x\}$，于是 $F(x_n)\to F(x)$，这就是右连续。当 $x_n\uparrow x$ 时，事件 $\{X\le x_n\}$ 单调增加，其并为 $\{X<x\}$，所以

$$
F(x-0)=P\{X<x\}.
$$

由单调性和两端极限还可得到 $0\le F(x)\le 1$。

> [!TIP]
> **充分性**
>
> 反过来，任何满足单调不减、右连续以及两端极限为 $0$ 和 $1$ 的函数，都可以作为某个随机变量的分布函数。判断一个函数能否充当分布函数时，只需核对这三条，并确认定义域是全体实数。

### 由分布函数计算概率

对任意 $a<b$，区间概率都能写成 $F$ 在端点处取值之差。记 $F(a-0)=\lim_{x\uparrow a}F(x)$，则

| 概率                 | 用分布函数表示         |
| :----------------- | :-------------- |
| $P\{a<X\le b\}$    | $F(b)-F(a)$     |
| $P\{a\le X\le b\}$ | $F(b)-F(a-0)$   |
| $P\{a<X<b\}$       | $F(b-0)-F(a)$   |
| $P\{a\le X<b\}$    | $F(b-0)-F(a-0)$ |

单点概率等于分布函数在该点的跳跃高度：

$$
P\{X=a\}=F(a)-F(a-0).
$$

尾概率可以写为

$$
P\{X>x\}=1-F(x),\qquad P\{X\ge x\}=1-F(x-0).
$$

此外，$P\{X<x\}=F(x-0)$。

> [!WARNING]
> 分布函数定义中的“$\le$”决定了端点写法。改写区间时，端点是否包含决定了该用 $F(a)$ 还是 $F(a-0)$；离散型不能随意把 $<$ 换成 $\le$。连续型的单点概率为零，端点才可以忽略。

离散型与连续型随机变量都可用分布函数描述；连续的分布函数不一定有概率密度。

## 例子

**两点分布的分布函数**

若 $P\{X=0\}=\dfrac13$，$P\{X=2\}=\dfrac23$，则

$$
F(x)=\begin{cases}
0, & x<0,\\[2pt]
\dfrac13, & 0\le x<2,\\[2pt]
1, & x\ge 2.
\end{cases}
$$

在 $x=0$ 处，$F(0)-F(0-0)=\dfrac13-0=\dfrac13=P\{X=0\}$；在 $x=2$ 处跳跃 $1-\dfrac13=\dfrac23=P\{X=2\}$。分段点取右侧表达式，这与右连续一致。

用区间公式可以读出：$P\{0<X\le 2\}=F(2)-F(0)=1-\dfrac13=\dfrac23$，而 $P\{0\le X\le 2\}=F(2)-F(0-0)=1$。

**区间上的均匀分布**

若 $X$ 在 $(0,1)$ 上取值，分布函数为

$$
F(x)=\begin{cases}
0, & x<0,\\
x, & 0\le x<1,\\
1, & x\ge 1,
\end{cases}
$$

则 $F$ 在全体实数上连续，概率密度为 $f(t)=1$（$0<t<1$），其余位置为 $0$。连续型在单点的概率为零：

$$
P\{X=0.5\}=F(0.5)-F(0.5-0)=0.5-0.5=0,
$$

而 $P\{0<X\le 0.5\}=F(0.5)-F(0)=0.5$。这里端点的开闭不影响概率值。

## 交互探索

对只取 $0$ 和 $2$ 的随机变量，改变 $P(X=0)$ 和读取位置。移动到取值点时，分布函数取跳跃后的高度；跳跃大小就是该点的概率。

交互演示：分布函数在取值处怎样跳跃？。改变两点分布的概率和读取位置，观察分布函数的右连续性。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 已知 $F(1)=0.2$，$F(1-0)=0.1$，$F(3)=0.7$，$F(3-0)=0.6$。

   1. $P\{1<X\le 3\}=$ \_\_\_\_\_\_（open-left-value）。

      答案：0.5

      $P\{1<X\le 3\}=F(3)-F(1)=0.7-0.2=0.5$。

   2. $P\{1\le X\le 3\}=$ \_\_\_\_\_\_（closed-left-value）。

      答案：0.6

      左端点包含 $1$，要减去 $F(1-0)$：$P\{1\le X\le 3\}=F(3)-F(1-0)=0.7-0.1=0.6$。

   3. $P\{X=1\}=$ \_\_\_\_\_\_（point-mass-value）。

      答案：0.1

      单点概率等于跳跃高度：$F(1)-F(1-0)=0.2-0.1=0.1$。

2. 下列哪一条**不是**分布函数必须满足的性质？

   * A.  单调不减
   * B.  右连续
   * C.  在每一点都连续
   * D.  $F(-\infty)=0$，$F(+\infty)=1$

   答案：C

   分布函数只要求右连续，允许有跳跃。离散型的分布函数就是阶梯函数，在取值点处不连续。

3. 设 $F(x)=0$（$x<0$），$F(x)=x^2$（$0\le x<1$），$F(x)=1$（$x\ge 1$）。则 $P\{0.5<X\le 1\}=$ \_\_\_\_\_\_（square-value）。

   答案：0.75

   用区间公式：$F(1)-F(0.5)=1-0.25=0.75$。

4. 关于离散型与连续型随机变量，下列说法正确的是

   * A.  取值有无穷多个的随机变量一定是连续型
   * B.  连续型随机变量的分布函数一定连续
   * C.  离散型随机变量的分布函数一定连续
   * D.  连续型随机变量在某个单点的概率可能为正

   答案：B

   连续型的分布函数可写成密度的积分，因此连续；离散型的分布函数是阶梯函数；取正整数的泊松变量取值无穷多但仍为离散型；连续型在单点的概率为零。

5. 举一个分布函数不连续的例子，并说明跳跃高度对应什么概率。