# 指数分布

## 定义

设 $X\sim E(\lambda)$，其中 $\lambda>0$。密度与分布函数为

$$
f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\ge 0,\\0,&x<0,\end{cases}
\qquad
F(x)=\begin{cases}1-e^{-\lambda x},&x\ge 0,\\0,&x<0.\end{cases}
$$

## 性质

尾概率与数字特征为

$$
P\{X>x\}=e^{-\lambda x}\quad(x\ge 0),\qquad E(X)=\frac1\lambda,\qquad D(X)=\frac1{\lambda^2}.
$$

这里 $\lambda$ 是率参数，$1/\lambda$ 才是平均等待时间；用于寿命模型时，$1/\lambda$ 是平均寿命。

**无记忆性**：对 $s,t\ge 0$，

$$
P\{X>s+t\mid X>s\}=P\{X>t\}.
$$

已经等待了 $s$，剩余等待时间的分布与从零开始相同。恒定失效率的寿命、等待时间常用指数分布建模。

**证明**

由 $P\{X>s\}=e^{-\lambda s}>0$ 以及 $\{X>s+t\}\subseteq\{X>s\}$，得

$$
P\{X>s+t\mid X>s\}
=\frac{P\{X>s+t\}}{P\{X>s\}}
=\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}
=e^{-\lambda t}
=P\{X>t\}.
$$

## 交互探索

改变速率 $\lambda$ 与时间 $t$，比较尾概率 $P(X>t)$。

交互演示：等待时间超过阈值的概率怎样变化？。改变指数分布的速率和等待时间，查看尾概率。 请在站点操作演示。