# 二维随机变量函数的分布

## 定义与分布函数法

设 $(X,Y)$ 是[二维联合分布函数](/knowledge/maths/probability/bivariate-random-variable/)，$g$ 是二元函数，$Z=g(X,Y)$。$Z$ 的分布函数为

$$
F_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\{g(X,Y)\le z\},\qquad z\in\mathbb R.
$$

先求 $F_Z$、再在可导处求导得到密度 $f_Z$，这一方法称为**分布函数法**。按 $(X,Y)$ 的类型，具体计算分两种：

* **离散型**：设 $p_{ij}=P\{X=x_i,\ Y=y_j\}$，则对满足条件的格子求和：
  $$
  F_Z(z)=\sum_{g(x_i,y_j)\le z}p_{ij}.
  $$
* **连续型**：设联合密度为 $f(x,y)$（即对任意平面区域 $D$，$P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$），则
  $$
  F_Z(z)=\iint_{D_z}f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy,\qquad D_z=\{(x,y):g(x,y)\le z\},
  $$
  积分区域取 $D_z$ 与联合密度支持集的交集。

连续型求出 $F_Z$ 后，在 $F_Z$ 可导的区间内求导即可，分段点单独讨论。先确定 $g(X,Y)$ 的取值范围，再写区域，能减少漏掉分段。

## 性质

### 和的分布与卷积

对一般的连续型 $(X,Y)$，不要求独立，由分布函数法

$$
F_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)\,\mathrm dy\right)\mathrm dx,
$$

对 $z$ 求导得

$$
f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\,\mathrm dx.
$$

若 $X$ 与 $Y$ [相互独立](/knowledge/maths/probability/random-variable-independence/)，则 $f(x,z-x)=f_X(x)f_Y(z-x)$，上式成为**卷积公式**

$$
f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx.
$$

离散型独立、取整数值时，相应地

$$
P\{X+Y=k\}=\sum_i P\{X=i\}P\{Y=k-i\}.
$$

> [!WARNING]
> **卷积以独立为前提，积分限按支持集求交**
>
> 不独立时必须保留联合密度 $f(x,z-x)$。即使是独立情形，卷积积分的上下限也应由 $f_X(x)$ 与 $f_Y(z-x)$ 同时非零的条件求交得到，不能一律写成 $\pm\infty$。

### 最大值与最小值

设 $X$ 与 $Y$ 独立，$M=\max(X,Y)$，$m=\min(X,Y)$。“最大值不超过 $z$”等价于两个变量都不超过 $z$，所以

$$
F_M(z)=P\{X\le z,\ Y\le z\}=F_X(z)F_Y(z).
$$

“最小值大于 $z$”等价于两个变量都大于 $z$，所以

$$
F_m(z)=1-P\{X>z,\ Y>z\}=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)].
$$

对 $n$ 个独立同分布的连续型变量 $X_1,\dots,X_n$，记 $M=\max(X_1,\dots,X_n)$、$m=\min(X_1,\dots,X_n)$，公共分布函数为 $F$、密度为 $f$，则

$$
F_M(z)=F(z)^n,\qquad F_m(z)=1-[1-F(z)]^n,
$$

求导得

$$
f_M(z)=nF(z)^{n-1}f(z),\qquad f_m(z)=n[1-F(z)]^{n-1}f(z).
$$

> [!TIP]
> **记忆方式**
>
> 最大值不超过 $z$ 等于“全部不超过”，最小值大于 $z$ 等于“全部大于”。两个公式都用独立性把交事件概率写成乘积；不独立时不能这样拆。

### 商与积

在存在联合密度的情形，设 $f$ 为 $(X,Y)$ 的联合密度。

**积**：令 $U=X$、$V=XY$，反变换为 $x=u$、$y=v/u$，雅可比绝对值为 $1/|u|$，于是

$$
f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|x|}f\left(x,\frac{z}{x}\right)\mathrm dx,
$$

在 $x\ne 0$ 处使用。**商**：令 $U=Y$、$V=X/Y$，反变换为 $x=uv$、$y=u$，雅可比绝对值为 $|u|$，于是

$$
f_{X/Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|f(zy,y)\,\mathrm dy.
$$

有联合密度时 $P\{X=0\}=P\{Y=0\}=0$，排除这两个单点不影响积分；但两式的积分范围仍受支持集约束，不能直接取全体实数。

### 一般二维变换

设 $(U,V)=T(X,Y)$ 是可逆的连续可微变换，反变换为 $x=x(u,v)$、$y=y(u,v)$。则 $(U,V)$ 的联合密度为

$$
f_{U,V}(u,v)=f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|.
$$

使用这个公式要做三件事：

1. 写出反变换，求出反变换的雅可比行列式并取绝对值；
2. 把联合密度的支持区域按反变换改写到 $(u,v)$ 平面上；
3. 反变换不唯一时，把各分支的密度分别算出后相加。

只求一个函数 $Z=g(X,Y)$ 的分布时，先补一个辅助变量（例如取 $U=X$ 或 $U=Y$）使变换可逆，求出 $(U,Z)$ 或 $(Z,V)$ 的联合密度，再对辅助变量积分消去它。上面的积、商公式都是这种做法。

> [!IMPORTANT]
> **雅可比与支持区域同样重要**
>
> 密度公式必须用反变换的雅可比并取绝对值；直接使用正变换的雅可比会得到错误结果。只换公式而不换支持区域，积分限也会错。多值反变换漏掉分支，会丢掉一部分概率。

## 例子

**两个独立均匀变量之和**

设 $X,Y$ 相互独立，都服从 $U[0,1]$（区间上的均匀分布），则 $f_X(x)=f_Y(x)=1$（$0<x<1$），其余为零。卷积的被积函数 $f_X(x)f_Y(z-x)$ 非零要求 $0<x<1$ 且 $0<z-x<1$，即 $z-1<x<z$。这个区间只在 $0<z<2$ 时非空：

* 当 $0<z\le 1$ 时，$x\in(0,z)$，积分为 $z$；
* 当 $1<z<2$ 时，$x\in(z-1,1)$，积分为 $2-z$。

所以

$$
f_{X+Y}(z)=\begin{cases}
z, & 0<z\le 1,\\
2-z, & 1<z<2,\\
0, & \text{其他}.
\end{cases}
$$

密度在 $z=1$ 处取峰值 $1$，图像是三角形。

**独立均匀变量的最大值与最小值**

设 $X,Y$ 相互独立，都服从 $U[0,1]$，则 $F(z)=z$、$f(z)=1$（$0\le z\le 1$）。于是

$$
F_M(z)=z^2,\quad f_M(z)=2z;\qquad
F_m(z)=1-(1-z)^2,\quad f_m(z)=2(1-z),
$$

密度只在 $0<z<1$ 内取上述表达式，其余位置为零；分布函数在 $z<0$ 时为 $0$，在 $z>1$ 时为 $1$。最大值偏向 $1$ 附近，最小值偏向 $0$ 附近。

**独立均匀变量之积**

设 $X,Y$ 相互独立，都服从 $U[0,1]$，求 $Z=XY$ 的密度。由积的公式，

$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|x|}f(x)f\left(\frac{z}{x}\right)\mathrm dx.
$$

被积函数非零要求 $0<x<1$ 且 $0<z/x<1$，后者即 $x>z$。所以对 $0<z<1$，

$$
f_Z(z)=\int_z^1\frac{1}{x}\,\mathrm dx=-\ln z,
$$

其余位置为零。检验：$\int_0^1(-\ln z)\,\mathrm dz=1$。

**独立正态变量的和与差**

设 $X,Y$ 相互独立，都服从标准正态分布，联合密度为

$$
f(x,y)=\frac{1}{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}.
$$

令 $U=X+Y$、$V=X-Y$，反变换为 $x=\dfrac{u+v}{2}$、$y=\dfrac{u-v}{2}$，雅可比绝对值为 $\dfrac12$。又 $x^2+y^2=\dfrac{u^2+v^2}{2}$，所以

$$
f_{U,V}(u,v)=\frac{1}{4\pi}e^{-(u^2+v^2)/4}
=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-u^2/4}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-v^2/4}.
$$

两个因子分别是 $N(0,2)$（均值为 $0$、方差为 $2$ 的正态分布）的密度，因此 $U$ 与 $V$ 独立，且都服从 $N(0,2)$。这说明在联合正态且两个方差相等的条件下，“和与差”可以独立；对一般的独立变量不能作此断言。

## 交互探索

改变两个独立零一变量的分布，比较它们的和取不同值的概率。

交互演示：两个独立零一变量的和怎样分布？。改变两个变量的成功概率，计算其和的分布。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $X,Y$ 相互独立，都服从 $U[0,1]$。$f_{X+Y}(1.5)=$ \_\_\_\_\_\_（uniform-sum）。

   答案：0.5

   $1.5\in(1,2)$，用第二段 $2-z=2-1.5=0.5$。

2. 设 $X\sim U[0,2]$，$Y\sim U[0,1]$，且 $X$ 与 $Y$ 独立。$f_{X+Y}(2.5)=$ \_\_\_\_\_\_（unequal-sum）。

   答案：0.25

   $f_X(x)=\dfrac12$（$0<x<2$），$f_Y(y)=1$（$0<y<1$）。非零条件为 $0<x<2$ 与 $1.5<x<2.5$，交集为 $(1.5,2)$，所以积分为 $\dfrac12\times(2-1.5)=0.25$。

3. 设 $X,Y$ 相互独立，都服从 $U[0,1]$，$M=\max(X,Y)$，$m=\min(X,Y)$。

   1. $P\{M\le 0.5\}=$ \_\_\_\_\_\_（max-value）。

      答案：0.25

      $P\{M\le 0.5\}=F(0.5)^2=0.5^2=0.25$。

   2. $P\{m\le 0.5\}=$ \_\_\_\_\_\_（min-value）。

      答案：0.75

      $P\{m\le 0.5\}=1-P\{m>0.5\}=1-(1-0.5)^2=0.75$。

   3. $f_M(0.5)=$ \_\_\_\_\_\_（max-density）。

      答案：1

      $f_M(z)=2z$，代入 $z=0.5$ 得 $1$。

4. 设 $X,Y$ 相互独立，都服从 $U[0,1]$，$Z=XY$。$f_Z(0.25)=$ \_\_\_\_\_\_（product-value）（保留三位小数）。

   答案：1.386

   $f_Z(z)=-\ln z$，所以 $f_Z(0.25)=-\ln 0.25=\ln 4\approx 1.386$。

5. 设 $U=X+Y$，$V=X-Y$。反变换的雅可比绝对值 $\left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=$ \_\_\_\_\_\_（jacobian-value）。

   答案：0.5

   $x=\dfrac{u+v}{2}$、$y=\dfrac{u-v}{2}$，雅可比行列式为 $-\dfrac12$，取绝对值得 $\dfrac12$。

6. 设 $X,Y$ 相互独立，都服从参数为 $1$ 的指数分布，密度为 $e^{-x}$（$x>0$）。$f_{X/Y}(1)=$ \_\_\_\_\_\_（quotient-value）。

   答案：0.25

   $f_{X/Y}(z)=\int_0^{+\infty}|y|e^{-zy}e^{-y}\,\mathrm dy=\int_0^{+\infty}ye^{-(z+1)y}\,\mathrm dy=\dfrac{1}{(z+1)^2}$。代入 $z=1$ 得 $\dfrac14=0.25$。

7. 关于二维随机变量函数的分布，下列说法正确的是

   * A.  卷积公式在 $X$ 与 $Y$ 不独立时仍然成立
   * B.  若 $X$ 与 $Y$ 不独立，$F_M(z)=F_X(z)F_Y(z)$ 仍成立
   * C.  连续型可以先求 $F_Z$，再求导得 $f_Z$
   * D.  可逆变换的密度公式使用正变换的雅可比 $\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$
   * E.  商与积的密度公式的积分范围仍受联合支持集限制

   答案：C、E

   $A$、$B$ 都依赖独立性，不独立时不能把联合密度或交事件概率拆成乘积；$D$ 应使用反变换的雅可比并取绝对值。

8. 说明反变换不唯一时，为什么要把各分支的密度分别计算后相加。