# 随机变量函数的分布

## 定义

设 $X$ 是概率空间 $(\Omega,P)$ 上的随机变量，$g$ 是定义在 $X$ 取值范围内的实值函数。对每个样本点 $\omega$，令

$$
Y(\omega)=g\bigl(X(\omega)\bigr),
$$

则 $Y$ 仍是同一个样本空间上的随机变量，称它为 $X$ 的**函数**，记作 $Y=g(X)$。

已知 $X$ 的分布而求 $Y$ 的分布，就是求 $Y$ 的分布函数

$$
F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{g(X)\le y\},\qquad -\infty<y<+\infty,
$$

或求出与分布函数等价的信息：离散情形写出 $Y$ 的分布律，连续情形写出 $Y$ 的密度 $f_Y$。以下把 $X$ 的分布函数与密度分别记为 $F_X$、$f_X$，把 $Y$ 的对应量记为 $F_Y$、$f_Y$。

> [!NOTE]
> **记号约定**
>
> $\{g(X)\le y\}$ 指使 $g\bigl(X(\omega)\bigr)\le y$ 成立的样本点全体。对每个 $y$，它都必须是事件，$F_Y(y)$ 才有定义；实际遇到的初等函数都满足这一点。$F_Y$ 的自变量是实数 $y$，$Y$ 本身是随机变量，两者不要混写。

## 分布函数法

分布函数法直接按定义计算 $P\{g(X)\le y\}$，不要求 $g$ 单调，对离散型和连续型都适用；下面两个密度公式也都能由它推出。

1. **确定 $Y$ 的取值范围**

   由 $X$ 的取值范围和 $g$ 的对应关系，先写出 $Y$ 可能取到哪些值。范围之外 $F_Y$ 分别取 $0$ 或 $1$，密度取 $0$。

2. **写出 $F_Y(y)=P\{g(X)\le y\}$**

   这一步只是套定义，先把分布函数写出来，再处理后一个不等号。

3. **把不等式化成关于 $X$ 的事件**

   $\{g(X)\le y\}$ 等价于 $X$ 落在某个集合上。对连续型，这个集合通常是若干区间；用 $F_X$ 或对 $f_X$ 积分即可算出概率。

4. **需要密度时再求导**

   在 $F_Y$ 可导的点取 $f_Y(y)=F_Y'(y)$，并补上取值范围外的零值。

> [!TIP]
> **先求范围，再算概率**
>
> 先确定 $Y$ 的取值范围，既能避免漏写分段，也是检验答案的重要手段：范围之外 $F_Y$ 应为常数，$f_Y$ 应为 $0$。计算结束前可以顺手核对一次。

## 离散型随机变量函数的分布

设 $X$ 是离散型随机变量，取值为 $x_1,x_2,\dots$，分布律为 $p_k=P\{X=x_k\}$。把每个取值代入 $g$，得到 $Y=g(X)$ 的分布律

$$
P\{Y=y\}=\sum_{k:\,g(x_k)=y}P\{X=x_k\}.
$$

同一个 $y$ 可能由多个 $x_k$ 得到，这些概率必须**合并**，不能当作不同的取值分列。反向看，$Y$ 的每个取值对应 $X$ 的一个或多个原像，求和只对满足 $g(x_k)=y$ 的下标进行。

## 单调变换的密度公式

设 $X$ 是连续型随机变量，密度为 $f_X$，取值落在区间 $I$ 内。若 $g$ 在 $I$ 上严格单调、可微，且存在可微的反函数 $x=h(y)$，则 $Y=g(X)$ 也是连续型随机变量，在变换后的取值范围内

$$
f_Y(y)=f_X\bigl(h(y)\bigr)\,\bigl|h'(y)\bigr|.
$$

**绝对值不能省略**。$g$ 严格递增时 $h'(y)>0$，严格递减时 $h'(y)<0$，而密度必须非负；取绝对值后两种情形使用同一个式子。

**证明**

设 $g$ 在 $I$ 上严格递增，则反函数 $h$ 也递增，且

$$
F_Y(y)=P\{g(X)\le y\}=P\{X\le h(y)\}=F_X\bigl(h(y)\bigr).
$$

两边对 $y$ 求导，由链式法则得

$$
f_Y(y)=F_X'\bigl(h(y)\bigr)\,h'(y)=f_X\bigl(h(y)\bigr)\,h'(y).
$$

若 $g$ 严格递减，则 $\{g(X)\le y\}=\{X\ge h(y)\}$，于是

$$
F_Y(y)=1-F_X\bigl(h(y)\bigr),
\qquad
f_Y(y)=-f_X\bigl(h(y)\bigr)\,h'(y)=f_X\bigl(h(y)\bigr)\,\bigl|h'(y)\bigr|.
$$

递增情形中 $h'(y)>0$，同样可写成带绝对值的式子。求导在 $F_X$ 可导的点进行；改变密度在有限个点的取值不影响分布。

**线性变换**：对 $Y=aX+b$，$a\ne 0$，反函数 $h(y)=\dfrac{y-b}{a}$，$h'(y)=\dfrac1a$，于是

$$
f_Y(y)=\frac{1}{|a|}\,f_X\!\left(\frac{y-b}{a}\right).
$$

若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则 $aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$。$a=0$ 时 $Y\equiv b$ 是常数，$F_Y$ 在 $b$ 处由 $0$ 跳到 $1$，$Y$ 没有密度。

## 非单调变换与分支求和

若 $g$ 在整个取值范围内不单调，但可以分成若干段，使每段上 $g$ 严格单调且可微，反函数分别为 $x_i(y)$，则同一 $y$ 处各分支的贡献相加：

$$
f_Y(y)=\sum_i f_X\bigl(x_i(y)\bigr)\left|\frac{\mathrm dx_i}{\mathrm dy}\right|.
$$

这里的分支只计入落在 $X$ 支持集内的那些，支持集指 $f_X>0$ 的取值集合；某个分支在 $y$ 处没有实数值时，它对 $f_Y(y)$ 没有贡献。

> [!WARNING]
> 分支求和只适用于每段上严格单调的情形。若变换把一段正概率区域整体映到同一个常数，该常数处会有概率质量，$F_Y$ 在该点跳跃，此时不能只用一个连续密度描述 $Y$，要回到分布函数法处理。

对 $g(x)=x^2$，当 $y>0$ 时两支为 $x_1(y)=\sqrt y$、$x_2(y)=-\sqrt y$，且

$$
\left|\frac{\mathrm dx_1}{\mathrm dy}\right|=\left|\frac{\mathrm dx_2}{\mathrm dy}\right|=\frac{1}{2\sqrt y},
$$

所以

$$
f_Y(y)=\frac{f_X(\sqrt y)+f_X(-\sqrt y)}{2\sqrt y},\qquad y>0,
$$

而 $y\le 0$ 时 $f_Y(y)=0$。这个结果也可以先写 $F_Y(y)=P\{-\sqrt y\le X\le\sqrt y\}$，再对 $y$ 求导得到。

## 例子

**离散型变换：$Y=X^2$ 的概率合并**

设 $X$ 取 $-1,0,1$，概率分别为 $\dfrac14,\dfrac12,\dfrac14$。令 $Y=X^2$。

取值 $-1$ 与 $1$ 都映到 $1$，$0$ 映到 $0$。按取值合并概率：

$$
P\{Y=0\}=P\{X=0\}=\frac12,
\qquad
P\{Y=1\}=P\{X=-1\}+P\{X=1\}=\frac14+\frac14=\frac12.
$$

若把 $-1$ 与 $1$ 各自单列，会得到 $Y$ 取三个值、概率之和不等于 $1$ 的错误结果。

**$X\sim U[-1,1]$ 时 $Y=X^2$ 的分布**

$X$ 的密度为 $f_X(x)=\dfrac12$（$-1<x<1$），其余位置为 $0$。由 $Y=X^2$ 知 $Y$ 只在 $[0,1]$ 上取值。

先求分布函数。当 $0\le y<1$ 时，

$$
F_Y(y)=P\{X^2\le y\}=P\{-\sqrt y\le X\le\sqrt y\}
=\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}\frac12\,\mathrm dx=\sqrt y.
$$

结合取值范围得

$$
F_Y(y)=\begin{cases}
0,&y<0,\\
\sqrt y,&0\le y<1,\\
1,&y\ge 1.
\end{cases}
$$

对 $y$ 求导，并补上范围外的零值：

$$
f_Y(y)=\begin{cases}
\dfrac{1}{2\sqrt y},&0<y<1,\\
0,&\text{其他}.
\end{cases}
$$

用分支公式核对：$f_X(\sqrt y)=f_X(-\sqrt y)=\dfrac12$，于是 $f_Y(y)=\dfrac{1/2+1/2}{2\sqrt y}=\dfrac{1}{2\sqrt y}$，与求导结果一致。

> [!NOTE]
> **检查什么**
>
> 密度非负、在全域上积分为 $1$、取值范围与 $F_Y$ 的分段一致，这三条可以独立验证结果。本例中 $\int_0^1\dfrac{1}{2\sqrt y}\,\mathrm dy=\sqrt y\,\Big|_0^1=1$。

> [!TIP]
> **不必先求分布**
>
> 计算 $E[g(X)]$ 时通常可以直接由 $X$ 的分布求，不必先求出 $g(X)$ 的分布。求 $g(X)$ 的分布主要用在需要 $P\{Y\le y\}$、$Y$ 的密度或分位数的问题上。

## 交互探索

将离散随机变量平方，比较多个原取值映射到同一结果时的概率合并。

交互演示：不同取值映射到同一结果时怎样计算概率？。将三点分布通过平方映射，合并对应概率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $X$ 的分布律为 $P\{X=-1\}=\dfrac14$，$P\{X=0\}=\dfrac12$，$P\{X=1\}=\dfrac14$，令 $Y=X^2$。

   1. $P\{Y=0\}=$ \_\_\_\_\_\_（discrete-zero-value）。

      答案：0.5

      只有 $X=0$ 满足 $X^2=0$，所以 $P\{Y=0\}=P\{X=0\}=\dfrac12$。

   2. $P\{Y=1\}=$ \_\_\_\_\_\_（discrete-one-value）。

      答案：0.5

      $X=1$ 与 $X=-1$ 都映到 $1$，概率合并：$\dfrac14+\dfrac14=\dfrac12$。

2. 设 $X\sim U(0,1)$，$Y=2X+1$。在 $1<y<3$ 内 $f_Y(y)=$ \_\_\_\_\_\_（linear-density）。

   答案：0.5

   由线性变换公式，$f_Y(y)=\dfrac12 f_X\!\left(\dfrac{y-1}{2}\right)$。当 $1<y<3$ 时 $\dfrac{y-1}{2}\in(0,1)$，$f_X=1$，故 $f_Y(y)=\dfrac12$。

3. 设 $X\sim U[-1,1]$，$Y=X^2$。下列叙述正确的有

   * A.  $Y$ 的取值落在 $[0,1]$ 内
   * B.  当 $0<y<1$ 时 $f_Y(y)=\dfrac{1}{2\sqrt y}$
   * C.  $Y$ 服从 $[0,1]$ 上的均匀分布
   * D.  当 $0<y<1$ 时 $F_Y(y)=y$

   答案：A、B

   $X^2\in[0,1]$；密度为 $\dfrac{1}{2\sqrt y}$ 而非常数，所以 $Y$ 不是均匀分布；分布函数为 $\sqrt y$ 而不是 $y$。

4. 设 $X$ 为连续型随机变量，$Y=X^2$。关于求 $Y$ 的密度，下列说法正确的有

   * A.  可以用分布函数法：先写 $F_Y(y)=P\{-\sqrt y\le X\le\sqrt y\}$，再对 $y$ 求导
   * B.  $x^2$ 在 $x<0$ 与 $x>0$ 上各有一个可微反函数，$y>0$ 时把两支的贡献相加
   * C.  分支求和时，落在 $X$ 支持集之外的分支也要计入
   * D.  若 $f_X$ 关于原点对称，则 $y>0$ 时 $f_Y(y)=\dfrac{f_X(\sqrt y)}{\sqrt y}$

   答案：A、B、D

   只有落在支持集内的分支才有贡献。$f_X$ 关于原点对称时 $f_X(\sqrt y)=f_X(-\sqrt y)$，代入分支公式得 $\dfrac{2f_X(\sqrt y)}{2\sqrt y}=\dfrac{f_X(\sqrt y)}{\sqrt y}$。

5. 设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$\sigma>0$，令 $Y=3X-1$，则 $Y$ 服从

   * A.  $N(3\mu-1,9\sigma^2)$
   * B.  $N(3\mu-1,3\sigma^2)$
   * C.  $N(3\mu,9\sigma^2)$
   * D.  $N(3\mu-1,\sigma^2)$

   答案：A

   线性变换把均值变为 $a\mu+b=3\mu-1$，方差变为 $a^2\sigma^2=9\sigma^2$。标准化时除的是标准差，不是方差。