# 几何分布

## 定义

各次试验相互独立且成功概率均为 $p$（$0<p\le1$）。若 $X$ 表示首次成功所需的试验总次数，则

$$
P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad k=1,2,\ldots.
$$

另一种约定记录首次成功前的失败次数，取值从 $0$ 开始，使用公式前应确认参数化。

## 性质

对于此处从 $1$ 开始计数的约定，$E(X)=1/p$，$D(X)=(1-p)/p^2$。

### 无记忆性

按“首次成功所需的总试验次数”定义几何分布，$P\{X=k\}=q^{k-1}p$，$k=1,2,\ldots$。它的尾概率为

$$
P\{X>m\}=q^m\qquad(m\ge 0),
$$

由此得到无记忆性：

$$
P\{X>m+n\mid X>m\}=P\{X>n\},\qquad m,n\ge 0,\quad P(X>m)>0.
$$

**证明**

由 $P\{X>m\}=\sum_{k=m+1}^{\infty}q^{k-1}p=\dfrac{q^m p}{1-q}=q^m$，且 $\{X>m+n\}\subseteq\{X>m\}$，得

$$
P\{X>m+n\mid X>m\}
=\frac{P\{X>m+n\}}{P\{X>m\}}
=\frac{q^{m+n}}{q^m}
=q^n
=P\{X>n\}.
$$

已经失败 $m$ 次，并不改变此后等待首次成功所需次数的分布。

当 $p=1$ 时，$P(X>m)=0$（$m\ge1$），相应的条件概率没有定义。

## 交互探索

改变单次成功概率，比较首次成功发生在不同试验次数的概率。

交互演示：首次成功需要多少次试验？。改变单次成功概率，比较首次成功发生在各次试验的概率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $X$ 为首次成功所需的总试验次数，成功概率为 $p$，$q=1-p$。则 $P\{X>m+n\mid X>m\}$ 等于

   * A.  $P\{X>n\}$
   * B.  $P\{X>m\}$
   * C.  $P\{X>m+n\}$
   * D.  $1-P\{X>n\}$

   答案：A

   无记忆性表明已经失败的次数不影响之后的等待时间，条件概率仍为 $q^n=P\{X>n\}$。