# 几何概型

## 定义

若样本空间是有限长度、面积或体积的区域 $\Omega$，且样本点在 $\Omega$ 中**均匀选取**，则事件 $A$ 的概率为

$$
P(A)=\frac{\text{区域 }A\text{ 的度量}}{\text{区域 }\Omega\text{ 的度量}}.
$$

这里的度量按问题取长度、面积或体积。

这里要求 $\Omega$ 的度量有限且非零，事件区域也必须可以测量。随机选取不自动意味着均匀，建模时要说明均匀的是位置、角度还是其他参数。

## 例子

**区间上的几何概型**

在 $[0,2]$ 上均匀取一点 $x$，事件 $A=\{x\le 0.5\}$ 对应区间 $[0,0.5]$。按长度之比，

$$
P(A)=\frac{0.5-0}{2-0}=\frac14.
$$

## 交互探索

在 $[0,1]$ 上均匀取点，改变阈值 $a$。事件 $X\le a$ 对应区间 $[0,a]$，其概率等于该区间长度占总长度的比例。

交互演示：阈值左侧占多大比例？。在单位区间上改变阈值，比较事件长度和概率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 在 $[0,2]$ 上均匀取一点 $x$，事件 $\{x\le 0.5\}$ 的概率为 \_\_\_\_\_\_（geometric-value）。

   答案：0.25

   按长度之比，概率为 $(0.5-0)/(2-0)=0.25$。