# 超几何分布

## 定义

总体有 $N$ 件，其中 $M$ 件属于目标类，等可能地不放回抽取 $n$ 件。令 $X$ 为抽中的目标数，则

$$
P(X=k)=\frac{\binom Mk\binom{N-M}{n-k}}{\binom Nn},
\qquad \max(0,n-N+M)\le k\le\min(n,M).
$$

其中 $0\le M\le N$、$0\le n\le N$，各参数均为整数；超出取值范围时概率为零。分子分别选择目标与非目标，分母计数所有抽取组合。

## 例子

**超几何分布的一次计算**

从10件产品（其中3件次品）中不放回抽取4件，记 $X$ 为抽到的次品数。这里 $N=10$，$M=3$，$n=4$，$X$ 服从超几何分布，且

$$
P\{X=1\}=\frac{C_3^1 C_7^3}{C_{10}^4}
=\frac{3\cdot 35}{210}
=\frac12.
$$

## 交互探索

改变总体目标数、抽取数和目标命中数；不可能的组合会得到零概率。

交互演示：不放回抽样中恰好抽中多少个目标？。在十件产品中改变目标数量与抽取数量，计算恰好抽中指定数量的概率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 从20件产品（其中4件次品）中不放回抽取5件，记 $X$ 为抽到的次品数。$X$ 服从

   * A.  二项分布
   * B.  泊松分布
   * C.  超几何分布
   * D.  几何分布

   答案：C

   这一题中不放回抽样使各次结果不独立，抽取过程中次品比例会随已抽结果改变，因此用超几何分布。