# 事件的独立性

## 定义

设 $A$、$B$ 是样本空间 $\Omega$ 上的两个事件，$P$ 为概率。若

$$
P(AB)=P(A)P(B),
$$

则称 $A$ 与 $B$ **相互独立**。这里 $AB$ 表示交事件 $A\cap B$，即两个事件同时发生。

乘法形式是最通用的判定式：它不要求 $P(A)$、$P(B)$ 为正，因此概率为零的事件也可以讨论独立性。例如 $P(A)=0$ 时，对任意事件 $B$ 都有 $P(AB)=0=P(A)P(B)$，所以零概率事件与任意事件独立。

当 $P(B)>0$ 时，由[条件概率的定义](/knowledge/maths/probability/conditional-probability/) $P(A\mid B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}$，独立性等价于

$$
P(A\mid B)=P(A).
$$

也就是说，知道 $B$ 发生并不改变 $A$ 的概率。对称地，当 $P(A)>0$ 时也可以写成 $P(B\mid A)=P(B)$。

### 多个事件的独立性

设 $A_1,A_2,\dots,A_n$ 是 $n$ 个事件。

* **两两独立**：对任意 $i\ne j$，都有 $P(A_iA_j)=P(A_i)P(A_j)$。
* **相互独立**：对任意 $k\ge 2$ 和任意 $1\le i_1<i_2<\dots<i_k\le n$，都有
  $$
  P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k}).
  $$

相互独立要求所有子组都满足乘法关系，因此相互独立一定推出两两独立，反之不成立。

### 三个事件的情形

$A$、$B$、$C$ 相互独立，需要同时满足四个等式：

$$
\begin{gathered}
P(AB)=P(A)P(B),\quad P(AC)=P(A)P(C),\\
P(BC)=P(B)P(C),\quad P(ABC)=P(A)P(B)P(C).
\end{gathered}
$$

前三个等式只说明三者两两独立。缺少第四个等式时，即使两两独立，也不能称三者相互独立。

> [!IMPORTANT]
> **两两独立不能推出相互独立**
>
> 两两独立只验证了每两个事件之间的乘法关系，没有约束三者同时发生的情形。反例见下面的掷硬币例子。

## 性质

### 对立事件也独立

若 $A$ 与 $B$ 独立，则 $A$ 与 $\bar B$、$\bar A$ 与 $B$、$\bar A$ 与 $\bar B$ 也都分别独立。

以 $A$ 与 $\bar B$ 为例，由 $A=A\bar B\cup AB$ 及 $A\bar B$ 与 $AB$ 互斥，

$$
P(A\bar B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)\bigl(1-P(B)\bigr)=P(A)P(\bar B).
$$

其余两组同理。

> [!WARNING]
> **互斥不等于独立**
>
> 若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P(AB)=0$。当 $P(A)P(B)>0$ 时，$0\ne P(A)P(B)$，两者一定不独立。只有至少一个事件的概率为零时，互斥与独立才可能同时成立。

## 例子

**两两独立但不相互独立**

独立掷两枚公平硬币。令 $A$ 为第一枚正面，$B$ 为第二枚正面，$C$ 为两枚同面。样本空间有 $4$ 个等可能样本点，且

$$
P(A)=P(B)=P(C)=\frac12.
$$

两两的交事件都只含“两枚都正面”这一个样本点，所以

$$
P(AB)=P(AC)=P(BC)=\frac14=\frac12\cdot\frac12,
$$

三者两两独立。但三者同时发生仍只有“两枚都正面”，

$$
P(ABC)=\frac14\ne\frac18=P(A)P(B)P(C).
$$

所以 $A$、$B$、$C$ 不相互独立。第四个等式正是相互独立比两两独立多出来的条件。

## 交互探索

保持两个事件的概率都是 $1/2$，改变它们的交集概率。独立时交集概率等于 $1/2\times1/2=1/4$；相同的边缘概率可以对应不同的交集，不能单凭边缘概率判断独立。

交互演示：固定两个事件的概率，能判断独立吗？。保持边缘概率不变，改变交集概率并检验独立性。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $P(A)=0.5$，$P(B)=0.4$。若 $A$ 与 $B$ 独立，则 $P(AB)=$ \_\_\_\_\_\_（product）。

   答案：0.2

   由独立性定义 $P(AB)=P(A)P(B)=0.5\times0.4=0.2$。

2. 设 $P(A)=0.3$，$P(B)=0.5$，且 $A$ 与 $B$ 互斥。

   1. $P(A\cup B)=$ \_\_\_\_\_\_（union-value）。

      答案：0.8

      互斥时 $P(AB)=0$，所以 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.8$。

   2. $A$ 与 $B$ 是否独立？

      * A.  独立
      * B.  不独立

      答案：B

      两个事件的概率都为正，而 $P(AB)=0\ne P(A)P(B)=0.15$，所以不独立。

3. 说明为什么两个概率都为正的互斥事件一定不独立。