# 指示变量

## 定义

对事件 $A$，定义**指示变量**

$$
I_A=\begin{cases}1,&A\text{ 发生},\\0,&A\text{ 不发生},\end{cases}
$$

则

$$
E(I_A)=1\times P(A)+0\times P(\bar A)=P(A).
$$

指示变量的期望就是事件的概率。若随机变量 $N$ 计数若干事件发生的个数，把它写成 $N=\sum_i I_{A_i}$，由期望的线性性质便有

$$
E(N)=\sum_iE(I_{A_i})=\sum_iP(A_i).
$$

这个做法通常比求出 $N$ 的完整分布更简单，而且**不要求各事件独立**：线性性质不需要独立性，$P(A_i)$ 也只要逐个求出即可。

**帽子问题**

$n$ 个人随机取回各自寄存的帽子，一人一顶。令 $I_i$ 表示第 $i$ 人是否取到自己的帽子，则 $I_i$ 是 $A_i=\{\text{第 }i\text{ 人取到自己的帽子}\}$ 的指示变量。

由对称性，第 $i$ 个人取到自己帽子的概率为 $\frac1n$，故 $P(A_i)=\frac1n$。取对人数 $N=\sum_{i=1}^nI_i$ 的期望为

$$
E(N)=\sum_{i=1}^n\frac1n=n\times\frac1n=1.
$$

无论人数多少，平均恰有一个人取到自己的帽子。注意取对人数并非常数，$N$ 仍可能取 $0$、$2$ 等其他值；而 $A_i$ 之间并不独立。

## 交互探索

把两次抛硬币的正面次数写成两个指示变量之和。

交互演示：指示变量怎样组成事件次数？。查看两次抛硬币的指示变量与正面次数。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $n$ 个人随机取回各自的帽子，记取对自己帽子的人数为 $N$，则 $E(N)=$ \_\_\_\_\_\_（hat-value）。

   答案：1

   把 $N$ 拆成 $n$ 个指示变量之和，每人取对的概率为 $\frac1n$，故 $E(N)=n\times\frac1n=1$，与人数无关。